調和微分形式

テンプレート:要改訳 調和微分形式（ちょうわびぶんけいしき）とは、数学において曲面上の実 1-形式 テンプレート:Mvar として、テンプレート:Mvar とその共役 1-形式 テンプレート:Math 両方が閉形式のことをいう。

解説

2-次元実解析多様体の上で定義された実 1-形式の場合を考える。さらに複素微分形式の実部となる実 1-形式を考える。テンプレート:Nowrap beginω = A dx + B dyテンプレート:Nowrap end とし、形式的に 共役 1-形式を テンプレート:Nowrap beginω* = A dy − B dxテンプレート:Nowrap end と定義する。

動機

調和微分形式は明らかに複素解析に関係している．複素数 z を実部と虚部に分けて、それぞれを x と y とし、テンプレート:Nowrap beginz = x + iyテンプレート:Nowrap end とする．複素解析の観点から、テンプレート:Nowrap beginω + iω* = (A − iB)(dx + i dy)テンプレート:Nowrap end となり、従って dz がゼロに近付くとき商 テンプレート:Nowrap は極限を取る。言い換えると、ω* は、微分（解析性）の概念に関連している。もうひとつの概念である虚数単位は、テンプレート:Nowrap begin(ω*)* = −ωテンプレート:Nowrap end である（まさに テンプレート:Nowrap begini² = −1テンプレート:Nowrap end と同じである）。

与えられた函数 f に対し、テンプレート:Math とする。つまり

$\omega =\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)dx+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)dy$

ここに ∂ は偏微分を表す。すると、

$(df{)}^{*}=(\frac{\partial f}{\partial x})dy-(\frac{\partial f}{\partial y})dx$

となる。ここで注意することは$d(df{)}^{*}$ はいつもゼロとは限らないことで、実際、

$d(df{)}^{*}=\mathrm{\Delta }fdxdy$

であり、ここに

$\mathrm{\Delta }f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$

が示される。

コーシー・リーマンの方程式

上で見たように、ω と ω* がともに閉形式のときに、1-形式 ω を 調和的 という。このことは テンプレート:Nowrap begin∂A/∂y = ∂B/∂xテンプレート:Nowrap end (ω が閉形式のとき) でかつ テンプレート:Math (ω* が閉形式のとき) であることを意味する。これらは、テンプレート:Nowrap のコーシー・リーマンの方程式という。普通、これらは、テンプレート:Nowrap の項で表すと、

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}$

となる。

結果

• 調和微分 (1-形式) は正確に（解析的）複素微分形式の実部に一致する。これを証明するためには、テンプレート:Math が、テンプレート:Math で局所的に解析函数であるときに、コーシー・リーマンの方程式を満たすことを示せばよい。もちろん、解析函数 テンプレート:Math は、何らか（すなわち テンプレート:Math）の局所での微分である。
• 調和微分形式 テンプレート:Mvar は（局所的に）正確にラプラス方程式 テンプレート:Math の解 f の微分 df である。
• テンプレート:Mvar が調和微分形式であれば、テンプレート:Math もまた調和微分形式である。

関連項目

• ド・ラームコホモロジー
• 微分形式

参考文献

• 森田茂之『微分形式の幾何学１』岩波書店、1996年 ISBN 4-00-010633-3
• 森田茂之『微分形式の幾何学２』岩波書店、1997年 ISBN 4-00-010639-2