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'''調和数列'''（ちょうわすうれつ、harmonic sequence または harmonic progression）とは、各項の逆数を取ると[[等差数列]]となる[[数列]]である。[[ピタゴラス音律]]では、ドの弦の長さを {{math|1}} とすると、ソは {{sfrac|2|3}}、1オクターブ高いドは {{sfrac|1|2}} の長さになる。各項の逆数はそれぞれ {{math|1}}, {{sfrac|3|2}}, {{math|2}} となり、公差が {{sfrac|1|2}} の等差数列となる。よって、{{math|1, {{sfrac|2|3}}, {{sfrac|1|2}}}} は調和数列である。

== 一般項と漸化式 ==
調和数列とは、一般項 {{mvar|h{{sub|n}}}} が {{mvar|a}} を初項とし定数 {{mvar|d}} を用いて
:<math>h_n =\frac{1}{a+(n-1)d}</math>
と表せる数列 {{math|{''h{{sub|n}}''} }} のことである。ここで {{math|&minus;{{sfrac|1|''d''}}}} は自然数でないとする。このとき、{{mvar|a}} は初項である。各項は隣接する2項の[[調和平均]]になっている（調和中項）。調和数列の極限は {{math|0}} である。例としては、
:<math>12,\, 6,\, 4,\, 3,\, \frac{12}{5},\, 2, \dots ,  \frac{12}{n}, \dots</math> 
:<math>10,\, 30,\, -30,\, -10,\, -6,\, -\frac{30}{7}, \dots , \frac{30}{5-2n}, \dots </math>  
などが挙げられる。

{{mvar|n}} 番目の項と {{mvar|m}} 番目の項の関係を表す[[漸化式]]は
:<math>h_n =\frac{h_m}{1+(n-m)d}</math>
である。

この数列の隣接2項間漸化式は
:<math>\frac{1}{h_{n+1}} =\frac{1}{h_n} +\frac{d}{h_1} \quad (n\ge 1)</math>
である。

== 調和数列の項の積 ==
一般項 <math>h_n =\frac{a}{1+(n-1)d}</math>, 項数 {{mvar|n}} の調和数列 {{math|{''h{{sub|n}}''} }} の[[総乗]]は
:<math>h_1 h_2 \cdots h_n =\frac{\left(\frac{a}{d}\right)^n }{\left(\frac{1}{d}\right)^{\overline{n}}} = \left(\frac{a}{d}\right)^n  \frac{\Gamma \left( \frac{1}{d} \right) }{\Gamma \left(\frac{1}{d} + n\right) }</math>

で表される。ここで、 <math>x^{\overline{n}}</math> は上昇[[階乗冪]]（{{mvar|x}} から {{math|1}} ずつ増やしながら {{math|''x'' + ''n'' &minus; 1}} までの {{mvar|n}} 個の総乗（[[階乗]]の類似物）、{{math|Γ}} は [[ガンマ関数]]を表す。

== 調和数列の逆数和 ==
調和数列は各項の逆数を取ると等差数列になることから、等差数列の関係から調和数列の関係を得ることができる。

一般項 <math>h_n=\frac{a}{1+(n-1)d}</math>, 項数 {{mvar|n}} の調和数列 {{math|{''h{{sub|n}}''} }} の全ての項の逆数和は、次の式で表される。
:<math>\frac{1}{h_1} +\frac{1}{h_2} +\cdots +\frac{1}{h_n} =\frac{n}{2} \left( \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_n} \right) =\frac{n\{2+(n-1)d \}}{2a}</math>

== 調和数列の級数 ==
調和数列の[[級数]]は一般[[調和級数]]
:<math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a}{1+(n-1)d} =\frac{a}{d} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n-1+\frac{1}{d}}</math>
になる。これは発散級数である。

{{Algebra-stub}}

{{DEFAULTSORT:ちようわすうれつ}}
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