調和数列

調和数列（ちょうわすうれつ、harmonic sequence または harmonic progression）とは、各項の逆数を取ると等差数列となる数列である。ピタゴラス音律では、ドの弦の長さを テンプレート:Math とすると、ソは テンプレート:Sfrac、1オクターブ高いドは テンプレート:Sfrac の長さになる。各項の逆数はそれぞれ テンプレート:Math, テンプレート:Sfrac, テンプレート:Math となり、公差が テンプレート:Sfrac の等差数列となる。よって、テンプレート:Math は調和数列である。

一般項と漸化式

調和数列とは、一般項 テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar を初項とし定数 テンプレート:Mvar を用いて

$h_n=\frac{1}{a+(n-1)d}$

と表せる数列 テンプレート:Math のことである。ここで テンプレート:Math は自然数でないとする。このとき、テンプレート:Mvar は初項である。各項は隣接する2項の調和平均になっている（調和中項）。調和数列の極限は テンプレート:Math である。例としては、

$12,6,4,3,\frac{12}{5},2,\dots ,\frac{12}{n},\dots$

$10,30,-30,-10,-6,-\frac{30}{7},\dots ,\frac{30}{5-2n},\dots$

などが挙げられる。

テンプレート:Mvar 番目の項と テンプレート:Mvar 番目の項の関係を表す漸化式は

$h_n=\frac{h_m}{1+(n-m)d}$

である。

この数列の隣接2項間漸化式は

$\frac{1}{h_{n+1}}=\frac{1}{h_n}+\frac{d}{h_1}(n\ge 1)$

である。

調和数列の項の積

一般項 $h_n=\frac{a}{1+(n-1)d}$, 項数 テンプレート:Mvar の調和数列 テンプレート:Math の総乗は

$h_1{h}_2\cdots h_n=\frac{{\left(\frac{a}{d}\right)}^n}{{\left(\frac{1}{d}\right)}^{\bar{n}}}={\left(\frac{a}{d}\right)}^n\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{d}\right)}{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{d}+n)}$

で表される。ここで、 $x^{\bar{n}}$ は上昇階乗冪（テンプレート:Mvar から テンプレート:Math ずつ増やしながら テンプレート:Math までの テンプレート:Mvar 個の総乗（階乗の類似物）、テンプレート:Math は ガンマ関数を表す。

調和数列の逆数和

調和数列は各項の逆数を取ると等差数列になることから、等差数列の関係から調和数列の関係を得ることができる。

一般項 $h_n=\frac{a}{1+(n-1)d}$, 項数 テンプレート:Mvar の調和数列 テンプレート:Math の全ての項の逆数和は、次の式で表される。

$\frac{1}{h_1}+\frac{1}{h_2}+\cdots +\frac{1}{h_n}=\frac{n}{2}(\frac{1}{h_1}+\frac{1}{h_n})=\frac{n\{2+(n-1)d\}}{2a}$

調和数列の級数

調和数列の級数は一般調和級数

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a}{1+(n-1)d}=\frac{a}{d}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n-1+\frac{1}{d}}$

になる。これは発散級数である。