貴金属比のソースを表示

[[数学]]において、'''貴金属比'''（ききんぞくひ、{{lang-en|metallic ratio}}）とは、
:<math>1:\frac{n+\sqrt{n^2 +4}}{2}</math>（{{mvar|n}} は自然数）
で表される[[比]]のことである。

[[線分]]比 {{math|''a'' : ''b'' }} が第{{mvar|n}}貴金属比であるとは、
:<math>(b-na):a=a:b</math>
が成り立つことを意味する。

<math>\frac{n+\sqrt{n^2 +4}}{2}</math> を'''貴金属数'''（ききんぞくすう、{{lang-en|metallic number}}）という。第{{mvar|n}}貴金属数 {{mvar|M{{sub|n}}}} は、[[逆数]]との[[減法|差]]が[[自然数]] {{mvar|n}} である正の[[実数]]、つまり
:<math>M_n - \frac{1}{M_n} =n</math>（{{mvar|n}} は自然数）
で特徴付けられる。

== 貴金属数 ==
{|class="wikitable floatleft"
|+貴金属数
!{{mvar|n}}!!第{{mvar|n}}貴金属数!!小数展開!!オンライン整数列大辞典!!別名
|-
!0
|<math>1</math>
|1
|
|
|-
!1
|<math>\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math>
|1.6180339887…
|{{OEIS2C|A001622}}
|'''[[黄金比|黄金数]]'''
|-
!2
|<math>1+\sqrt{2}</math>
|2.4142135623…
|{{OEIS2C|A014176}}
|'''[[白銀比|白銀数]]'''
|-
!3
|<math>\frac{3+\sqrt{13}}{2}</math>
|3.3027756377…
|{{OEIS2C|A098316}}
|'''[[#青銅比|青銅数]]'''
|-
!4
|<math>2+\sqrt{5}</math>
|4.2360679774…
|{{OEIS2C|A098317}}
|
|-
!5
|<math>\frac{5+\sqrt{29}}{2}</math>
|5.1925824035…
|{{OEIS2C|A098318}}
|
|-
!6
|<math>3+\sqrt{10}</math>
|6.1622776601…
|{{OEIS2C|A176398}}
|
|-
!7
|<math>\frac{7+\sqrt{53}}{2}</math>
|7.1400549446…
|{{OEIS2C|A176439}}
|
|-
!8
|<math>4+\sqrt{17}</math>
|8.1231056256…
|{{OEIS2C|A176458}}
|
|-
!9
|<math>\frac{9+\sqrt{85}}{2}</math>
|9.1097722286…
|{{OEIS2C|A176522}}
|
|-
!…
|colspan="4" style="text-align:center"|…
|-
!{{mvar|n}}
|colspan="4" style="text-align:center"|<math>\frac{n+\sqrt{n^2 +4}}{2}</math>
|}
{{-}}
[[自然数]] {{mvar|n}} に対して、'''第 {{mvar|n}} 貴金属数'''は、[[二次方程式]] {{math|''x''{{sup|2}} &minus; ''nx'' &minus; 1 {{=}} 0}} の正の解であり、
:<math>\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}</math>
である。

=== 貴金属数の累乗 ===
*貴金属数の[[冪乗|正の奇数乗]]は、常に貴金属数である。
*貴金属数の[[冪乗|正の偶数乗]]は、常に逆数との[[加法|和]]が自然数である実数である。

=== 連分数表示 ===
貴金属数の[[連分数]]表示は 
:<math>n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{\ddots}}}} =[n;n,n,n,n,\dots]</math>
である。 

=== 数列の商の極限 ===
黄金数（第1貴金属数）が、[[フィボナッチ数]]列の隣接2項の商の極限で表されるように、一般に第 {{mvar|n}} 貴金属数にも、隣接2項の商の極限となる数列が存在する。

数列 {{math|{''M{{sub|k}}''{{)}}}} を、漸化式
:<math>M_0 =0,\quad M_1 =1,\quad M_{k+2} =n M_{k+1} +M_k</math>
で定義すると、この一般項は、第 {{mvar|n}} 貴金属数を {{mvar|μ}} として、
:<math>M_k =\frac{\mu^k -(-\mu)^{-k}}{\mu +\mu^{-1}} =\frac{\mu^k -(-\mu)^{-k}}{\sqrt{n^2+4}}</math>
で表される。このとき、この数列の隣接2項の商は、{{math2|''k'' → ∞}} のときに {{mvar|μ}} に収束する。すなわち、
:<math>\lim_{k\to \infty} \frac{M_{k+1}}{M_k} =\mu</math>
が成り立つ。

== 青銅比 ==
'''青銅比'''（せいどうひ、{{lang-en|bronze ratio}}）は、
:<math>1:\frac{3+\sqrt{13}}{2}</math>
の[[比]]である。近似値は 1 : 3.303。'''貴金属比'''の一つ（第3貴金属比）。

青銅比において
:<math>\frac{3+\sqrt{13}}{2}=3.3027756377\cdots</math>
は、[[二次方程式]] {{math|''x''{{sup|2}} &minus; 3''x'' &minus; 1 {{=}} 0}} の正の解であり、これを'''青銅数'''（せいどうすう、{{lang-en|bronze number}}）という。

青銅数を[[連分数]]で表すと
:<math>3+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{\ddots}}}}</math>
となる。

== 関連項目 ==
*[[黄金比]]
*[[白銀比]]
*[[白金比]]

{{貴金属比}}
{{DEFAULTSORT:ききんそくひ}}
[[Category:数学定数]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:比]]