貴金属比

数学において、貴金属比（ききんぞくひ、テンプレート:Lang-en）とは、

$1:\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}$（テンプレート:Mvar は自然数）

で表される比のことである。

線分比 テンプレート:Math が第テンプレート:Mvar貴金属比であるとは、

$(b-na):a=a:b$

が成り立つことを意味する。

$\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}$ を貴金属数（ききんぞくすう、テンプレート:Lang-en）という。第テンプレート:Mvar貴金属数 テンプレート:Mvar は、逆数との差が自然数 テンプレート:Mvar である正の実数、つまり

$M_n-\frac{1}{M_n}=n$（テンプレート:Mvar は自然数）

で特徴付けられる。

貴金属数

貴金属数

テンプレート:Mvar	第テンプレート:Mvar貴金属数	小数展開	オンライン整数列大辞典	別名
0	$1$	1
1	$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$	1.6180339887…	テンプレート:OEIS2C	黄金数
2	$1+\sqrt{2}$	2.4142135623…	テンプレート:OEIS2C	白銀数
3	$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$	3.3027756377…	テンプレート:OEIS2C	青銅数
4	$2+\sqrt{5}$	4.2360679774…	テンプレート:OEIS2C
5	$\frac{5+\sqrt{29}}{2}$	5.1925824035…	テンプレート:OEIS2C
6	$3+\sqrt{10}$	6.1622776601…	テンプレート:OEIS2C
7	$\frac{7+\sqrt{53}}{2}$	7.1400549446…	テンプレート:OEIS2C
8	$4+\sqrt{17}$	8.1231056256…	テンプレート:OEIS2C
9	$\frac{9+\sqrt{85}}{2}$	9.1097722286…	テンプレート:OEIS2C
…	…
テンプレート:Mvar	$\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}$

テンプレート:- 自然数 テンプレート:Mvar に対して、第 テンプレート:Mvar 貴金属数は、二次方程式 テンプレート:Math の正の解であり、

$\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}$

である。

貴金属数の累乗

• 貴金属数の正の奇数乗は、常に貴金属数である。
• 貴金属数の正の偶数乗は、常に逆数との和が自然数である実数である。

連分数表示

貴金属数の連分数表示は

$n+\frac{1}{n+\frac{1}{n+\frac{1}{n+\frac{1}{\ddots }}}}=[n;n,n,n,n,\dots ]$

である。

数列の商の極限

黄金数（第1貴金属数）が、フィボナッチ数列の隣接2項の商の極限で表されるように、一般に第 テンプレート:Mvar 貴金属数にも、隣接2項の商の極限となる数列が存在する。

数列 テンプレート:Math を、漸化式

$M_0=0,M_1=1,M_{k+2}=n{M}_{k+1}+M_k$

で定義すると、この一般項は、第 テンプレート:Mvar 貴金属数を テンプレート:Mvar として、

$M_k=\frac{{\mu }^k-(-\mu {)}^{-k}}{\mu +{\mu }^{-1}}=\frac{{\mu }^k-(-\mu {)}^{-k}}{\sqrt{n^2+4}}$

で表される。このとき、この数列の隣接2項の商は、テンプレート:Math2 のときに テンプレート:Mvar に収束する。すなわち、

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{M_{k+1}}{M_k}=\mu$

が成り立つ。

青銅比

青銅比（せいどうひ、テンプレート:Lang-en）は、

$1:\frac{3+\sqrt{13}}{2}$

の比である。近似値は 1 : 3.303。貴金属比の一つ（第3貴金属比）。

青銅比において

$\frac{3+\sqrt{13}}{2}=3.3027756377\cdots$

は、二次方程式 テンプレート:Math の正の解であり、これを青銅数（せいどうすう、テンプレート:Lang-en）という。

青銅数を連分数で表すと

$3+\frac{1}{3+\frac{1}{3+\frac{1}{3+\frac{1}{\ddots }}}}$

となる。

関連項目

• 黄金比
• 白銀比
• 白金比