超幾何関数のソースを表示

{{No footnotes|date=2024年2月}}
{{Calculus}}
[[File:Hypergeometric2F1.svg|right|thumb|300px|ガウスの超幾何関数 {{math|{{sub|2}}''F''{{sub|1}}(2, 3; 4; ''z'')}} の複素数平面上における挙動]]

数学における'''超幾何関数'''（ちょうきかかんすう、{{Lang-en-short|hypergeometric function}}）とは、[[ガウスの微分方程式|超幾何微分方程式]]なる[[常微分方程式]]の解となる[[特殊関数]]をいう。超幾何関数は、[[絶対値]]が {{math|1}} より小さい[[複素数]] {{math|''z''}} を引数として、以下の[[超幾何級数]]

:<math> {}_2F_1 \biggl[ \begin{matrix} a, \, b \\ c \end{matrix} \mid z \biggr] \equiv \sum_{0 \leqslant n} \frac{(a)_n (b)_n}{(c)_n} \frac{z^n}{n!} </math>

で定義される関数 {{math|{{sub|2}}''F''{{sub|1}}}} をいい、多くの[[初等関数]]や特殊関数を包含する。ここで {{math|(&CenterDot;){{sub|''n''}}}} は[[ポッホハマー記号]]で表した[[階乗冪|昇べき]]である。厳密には、左辺の記号は原点の近傍で[[絶対収束]]する[[べき級数]]の和と、それから[[解析接続]]によって定義される[[解析関数]]としての超幾何関数を表すものである。ポッホハマー記号の[[ガンマ関数]]による表現を用いれば、超幾何関数は

:<math> {}_2F_1 \biggl[ \begin{matrix} a, \, b \\ c \end{matrix} \mid z \biggr] = \frac{\varGamma(c)}{\varGamma(a) \, \varGamma(b)} \sum_{0 \leqslant n} \frac{\varGamma(a+n) \, \varGamma(b+n)}{\varGamma(c+n)} \frac{z^n}{n!} </math>

と書き直すこともできる。このことからもわかるように、右辺の級数が収束するためには {{math|''c''}} が零もしくは負の[[整数]]ではないことが必要である。超幾何関数は、[[カール・フリードリヒ・ガウス|ガウス]]がこの関数について詳しく研究していたことから、彼の名前を冠して'''ガウスの超幾何関数'''と呼ばれることもある。

== 概要 ==
以下の形をした二階線型常微分方程式をガウスの微分方程式または超幾何微分方程式という。

:<math> z \, (z-1) \, \frac{d^2 w}{dz^2} + (c - (a+b+1) \, z) \, \frac{dw}{dz} - ab \, w = 0 </math>

この微分方程式は {{math|''z'' {{=}} 0}}, {{math|1}}, {{math|&infin;}} において{{仮リンク|確定特異点|en|regular singular point}}をもち、それ以外の点では特異点をもたない。各特異点での一般解はガウスの超幾何関数を用いて表せる事が知られており、適当な定数 {{math|''c''{{sub|1}}}}, {{math|''c''{{sub|2}}}} を用いて

:<math> w = c_1 \cdot {}_2F_1 \biggl[ \begin{matrix} a, \, b \\ c \end{matrix} \mid z \biggr] + c_2 \cdot z^{1-c} \, {}_2F_1 \biggl[ \begin{matrix} a-c+1, \, b-c+1 \\ 2-c \end{matrix} \mid z \biggr] </math>

と表せる。超幾何級数そのものは[[レオンハルト・オイラー|オイラー]]がよく研究したが、最初の体系的な扱いをしたのはガウスであるとされる。その後の研究には、[[エルンスト・クンマー|クンマー]]や[[ベルンハルト・リーマン|リーマン]]らによる、超幾何関数が満たす微分方程式を用いた超幾何関数の基本的な特徴付けなどがある。超幾何微分方程式の確定特異点のうち、{{math|1}} を {{math|&infin;}} に「融合させて」一級の不確定特異点とした二階線形常微分方程式

:<math> z \, \frac{d^2 w}{dz^2} + (b-z) \, \frac{dw}{dz} - a \, w = 0 </math>

は（クンマーの）合流型超幾何微分方程式と呼ばれ、この一般解を{{仮リンク|合流型超幾何関数|en|Confluent hypergeometric function}}という。

== 諸関数の表現 ==
超幾何関数は、多くの初等関数や特殊関数を包含する。さらに[[一般化された超幾何関数]]を用いれば、より多くの関数を表現することができる。

=== [[有理関数]] ===
:<math> \frac1{(1-z)^a} = \sum_{0 \leqslant n} \frac{(a)_n}{n!} \, z^n = {}_2F_1 \biggl[ \begin{matrix} a, \, - \\ - \end{matrix} \mid z \biggr] </math>

=== [[対数関数]] ===
:<math> \begin{aligned}
  & \log(1+z) = z \sum_{0 \leqslant n} \frac{(-1)^n}{n+1} \, z^{n} = z \, {}_2F_1 \biggl[ \begin{matrix} 1, \, 1 \\ 2 \end{matrix} \mid -z \biggr] \\
  & \log \frac{1+z}{1-z} = 2z \sum_{0 \leqslant n} \frac1{2n+1} \, z^{2n} = 2z \, {}_2F_1 \biggl[ \begin{matrix} 1/2, \, 1 \\ 3/2 \end{matrix} \mid z^2 \biggr]
\end{aligned} </math>

=== [[逆三角関数]] ===
:<math> \begin{aligned}
  & \arcsin z = z \sum_{0 \leqslant n} \frac{\binom{2n}n}{2^{2n} \, (2n+1)} \, z^{2n} = z \, {}_2F_1 \biggl[ \begin{matrix} 1/2, \, 1/2 \\ 3/2 \end{matrix} \mid z^2 \biggr] \\
  & \arctan z = z \sum_{0 \leqslant n} \frac{(-1)^n}{2n+1} \, z^{2n} = z \, {}_2F_1 \biggl[ \begin{matrix} 1/2, \, 1 \\ 3/2 \end{matrix} \mid -z^2 \biggr]
\end{aligned} </math>

=== [[楕円積分|完全楕円積分]] ===
:<math> \begin{aligned}
  & K(k) = \frac\pi2 \sum_{0 \leqslant n} \frac{{\binom{2n}n}^2}{2^{4n}} \, k^{2n} = \frac\pi2 \, {}_2F_1 \biggl[ \begin{matrix} 1/2, \, 1/2 \\ 1 \end{matrix} \mid k^2 \biggr] \\
  & E(k) = \frac\pi2 \sum_{0 \leqslant n} \frac{{\binom{2n}n}^2}{2^{4n} \, (1-2n)} \, k^{2n} = \frac\pi2 \, {}_2F_1 \biggl[ \begin{matrix} 1/2, \, -1/2 \\ 1 \end{matrix} \mid k^2 \biggr] \\
\end{aligned} </math>

=== [[不完全ベータ関数]] ===
:<math> B_z(a ,\, b) = \int_0^z t^{a-1} \, (1-t)^{b-1} \, dt = \frac{z^a}a \, {}_2F_1 \biggl[ \begin{matrix} a, \, 1-b \\ a+1 \end{matrix} \mid z \biggr] </math>

=== [[ルジャンドル多項式#ルジャンドル陪多項式|ルジャンドル陪多項式]] ===
:<math> P_\lambda^\mu(z) = \frac1{\varGamma(1-\mu)} \biggl( \frac{1+z}{1-z} \biggr)^{\! \mu/2} \, {}_2F_1 \biggl[ \begin{matrix} -\lambda, \, \lambda+1 \\ 1-\mu \end{matrix} \mid \frac{1-z}2 \biggr] </math>

=== {{仮リンク|ヤコビ多項式|en|Jacobi polynomials|de|Jacobi-Polynom}} ===
:<math> P_n^{(\alpha, \, \beta)}(z) = \frac{(\alpha+1)_n}{n!} \, {}_2F_1 \biggl[ \begin{matrix} -n, \, \alpha+\beta+n+1 \\ \alpha+1 \end{matrix} \mid \frac{1-z}2 \biggr] </math>

== 積分表現 ==
=== [[オイラー積分]]表示 ===
ガウスの超幾何関数は、以下のようにオイラー積分

:<math> {}_2F_1 \biggl[ \begin{matrix} a, \, b \\ c \end{matrix} \mid z \biggr] = \frac{\varGamma(c)}{\varGamma(b) \, \varGamma(c-b)} \int_0^1 t^{b-1} \, (1-t)^{c-b-1} \, (1-tz)^{-a} \, dt </math>

として表現することができる。ここで {{math|0 &lt; Re ''b'' &lt; Re ''c''}} である。[[ベータ関数]]を用いれば

:<math> {}_2F_1 \biggl[ \begin{matrix} a, \, b \\ c \end{matrix} \mid z \biggr] = \frac1{B(b, \, c-b)} \int_0^1 t^{b-1} \, (1-t)^{c-b-1} \, (1-tz)^{-a} \, dt </math>

となる。

==== 証明 ====
:<math> \begin{aligned}
  {}_2F_1 \biggl[ \begin{matrix} a, \, b \\ c \end{matrix} \mid z \biggr]
  &= \frac{\varGamma(c)}{\varGamma(b) \, \varGamma(c-b)} \frac{\varGamma(b) \, \varGamma(c-b)}{\varGamma(c)} \sum_{0 \leqslant n} \frac{(a)_n (b)_n}{(c)_n} \frac{z^n}{n!} \\
 &= \frac{\varGamma(c)}{\varGamma(b) \, \varGamma(c-b)} \sum_{0 \leqslant n} \frac{\varGamma(b+n) \, \varGamma(c-b) \, (a)_n}{\varGamma(c+n)} \frac{z^n}{n!} \\
  &= \frac{\varGamma(c)}{\varGamma(b) \, \varGamma(c-b)} \sum_{0 \leqslant n} B(b+n, \, c-b) \, (a)_n \, \frac{z^n}{n!} \\
  &= \frac{\varGamma(c)}{\varGamma(b) \, \varGamma(c-b)} \sum_{0 \leqslant n} \int_0^1 t^{b+n-1} \, (1-t)^{c-b-1} \, dt \, (a)_n \, \frac{z^n}{n!} \\
  &= \frac{\varGamma(c)}{\varGamma(b) \, \varGamma(c-b)} \int_0^1 t^{b-1} \, (1-t)^{c-b-1} \sum_{0 \leqslant n} \, (a)_n \, \frac{(tz)^n}{n!} \, dt \\
  &= \frac{\varGamma(c)}{\varGamma(b) \, \varGamma(c-b)} \int_0^1 t^{b-1} \, (1-t)^{c-b-1} \, {}_2F_1 \biggl[ \begin{matrix} a, \, - \\ - \end{matrix} \mid tz \biggr] \, dt \\
  &= \frac{\varGamma(c)}{\varGamma(b) \, \varGamma(c-b)} \int_0^1 t^{b-1} \, (1-t)^{c-b-1} \, (1-tz)^{-a} \, dt
\end{aligned} </math>

=== {{仮リンク|バーンズ積分|en|Barnes integral}}表示 ===
不等式 {{math|&VerticalLine;arg(&minus;''z'')&VerticalLine; &lt; ''&pi;''}} を満たす任意の複素数 {{math|''z''}} に対し、

:<math> {}_2F_1 \biggl[ \begin{matrix} a, \, b \\ c \end{matrix} \mid z \biggr] = \frac{\varGamma(c)}{\varGamma(a) \, \varGamma(b)} \frac1{2\pi i} \int_{-i\infty}^{+i\infty} \frac{\varGamma(a+t) \, \Gamma(b+t) \, \varGamma(-t)}{\varGamma(c+t)} \, (-z)^t \, dt </math>

が成り立つ。

== 特殊値の公式 ==
=== ガウスの超幾何定理 ===
以下の式を'''ガウスの超幾何定理'''（英: Gaussian hypergeometric theorem）という。

:<math> {}_2F_1 \biggl[ \begin{matrix} a, \, b \\ c \end{matrix} \mid 1 \biggr] = \frac{\varGamma(c) \, \varGamma(c-a-b)}{\varGamma(c-a) \, \varGamma(c-b)} </math>

ここに {{math|Re(''c'' &minus; ''a'' &minus; ''b'') &gt; 0}} である。また、この式に {{math|''a'' {{=}} &minus;''k''}} を代入すると、{{仮リンク|ヴァンデルモンドの恒等式|en|Vandermonde's identity}}を得る。

:<math> {}_2F_1 \biggl[ \begin{matrix} -k, \, b \\ c \end{matrix} \mid 1 \biggr] = \frac{\Gamma(c)}{\varGamma(c+k)} \frac{\Gamma(c-b+k)}{\varGamma(c-b)} = \frac{(c-b)_k}{(c)_k} </math>

==== 証明 ====
ガウスの超幾何関数のオイラー積分表示に {{math|''z'' {{=}} 1}} を代入する。

:<math> \begin{aligned}
  {}_2F_1 \biggl[ \begin{matrix} a, \, b \\ c \end{matrix} \mid 1 \biggr]
  &= \frac{\varGamma(c)}{\varGamma(a) \, \varGamma(c-a)} \int_0^1 t^{a-1} (1-t)^{c-a-b-1} \, dt \\
  &= \frac{\varGamma(c)}{\varGamma(a) \, \varGamma(c-a)} \, B(a, \, c-a-b) \\
  &= \frac{\varGamma(c) \, \varGamma(c-a-b)}{\varGamma(c-a) \, \varGamma(c-b)}
\end{aligned} </math>

=== クンマーの定理 ===
以下の式を'''クンマーの定理'''（英: Kummer's theorem）という。

:<math> {}_2F_1 \biggl[ \begin{matrix} a, \, b \\ a-b+1 \end{matrix} \mid 1 \biggr] = \frac{\varGamma(\frac{a}2+1) \, \varGamma(a-b+1)}{\varGamma(a+1) \, \varGamma(\frac{a}2-b+1)} </math>

==== 証明 ====
左辺をガウスの超幾何関数のオイラー積分表示を用いて計算する。

:<math> \begin{aligned}
  {}_2F_1 \biggl[ \begin{matrix} a, \, b \\ a-b+1 \end{matrix} \mid 1 \biggr]
  &= \frac{\varGamma(a-b+1)}{\varGamma(a) \, \varGamma(1-b)} \int_0^1 t^{a-1} \, (1-t)^{-b} \, (1+t)^{-b} \, dt \\
  &= \frac{\varGamma(a-b+1)}{\varGamma(a) \, \varGamma(1-b)} \int_0^1 t^{a-1} \, (1-t^2)^{-b} \, dt \\
\end{aligned} </math>

ここで、右辺の積分において {{math|''t'' {{=}} {{sqrt|''s''}}}} と置換する。

:<math> \begin{aligned}
  {}_2F_1 \biggl[ \begin{matrix} a, \, b \\ a-b+1 \end{matrix} \mid 1 \biggr]
  &= \frac{\varGamma(a-b+1)}{2 \, \varGamma(a) \, \varGamma(1-b)} \int_0^1 s^{a/2-1} \, (1-s)^{-b} \, ds \\
  &= \frac{\varGamma(a-b+1)}{2 \, \varGamma(a) \, \varGamma(1-b)} \, B\biggl( \frac{a}2, \, 1-b \biggr) \\
  &= \frac{\varGamma(\frac{a}2+1) \, \varGamma(a-b+1)}{\varGamma(a+1) \, \varGamma(\frac{a}2-b+1)}
\end{aligned} </math>

== 変換公式 ==
=== パーフの変換公式 ===
不等式 {{math|&VerticalLine;''z''&VerticalLine; &lt; 1/2}} を満たす任意の複素数 {{math|''z''}} に対し、

:<math> {}_2F_1 \biggl[ \begin{matrix} a, \, b \\ c \end{matrix} \mid z \biggr] = (1-z)^{-a} \, {}_2F_1 \biggl[ \begin{matrix} a, \, c-b \\ c \end{matrix} \mid \frac{z}{z-1} \biggr] </math>

が成り立つ。ここで {{math|0 &lt; Re ''b'' &lt; Re ''c''}} である。これを'''パーフの変換公式'''（英: Pfaff's transformation）という。

==== 証明 ====
ガウスの超幾何関数のオイラー積分表示において {{math|''t'' {{=}} 1 &minus; ''s''}} と変数変換する。

:<math> \begin{aligned}
  {}_2F_1 \biggl[ \begin{matrix} a, \, b \\ c \end{matrix} \mid z \biggr]
  &= \frac{\varGamma(c)}{\varGamma(b) \, \varGamma(c-b)} \int_0^1 t^{b-1} \, (1-t)^{c-b-1} \, (1-tz)^{-a} \, dt \\
  &= \frac{\varGamma(c)}{\varGamma(b) \, \varGamma(c-b)} \int_0^1 (1-s)^{b-1} \, s^{c-b-1} \, (1-z+sz)^{-a} \, ds \\
  &= (1-z)^{-a} \, \frac{\varGamma(c)}{\varGamma(b) \, \varGamma(c-b)} \int_0^1 s^{c-b-1} \, (1-s)^{b-1} \, \biggl( 1 - s \, \frac{z}{z-1} \biggr)^{\! -a} \, ds \\
  &= (1-z)^{-a} \, {}_2F_1 \biggl[ \begin{matrix} a, \, c-b \\ c \end{matrix} \mid \frac{z}{z-1} \biggr]
\end{aligned} </math>

=== オイラーの変換公式 ===
不等式 {{math|&VerticalLine;''z''&VerticalLine; &lt; 1/2}} を満たす任意の複素数 {{math|''z''}} に対し、

:<math> {}_2F_1 \biggl[ \begin{matrix} a, \, b \\ c \end{matrix} \mid z \biggr] = (1-z)^{c-a-b} \, {}_2F_1 \biggl[ \begin{matrix} c-a, \, c-b \\ c \end{matrix} \mid z \biggr] </math>

が成り立つ。ここで {{math|0 &lt; Re ''b'' &lt; Re ''c''}} である。これを'''オイラーの変換公式'''（英: Euler's transformation）という。

==== 証明 ====
パーフの変換公式を繰り返し適用する。

:<math> \begin{aligned}
  {}_2F_1 \biggl[ \begin{matrix} a, \, b \\ c \end{matrix} \mid z \biggr]
  &= (1-z)^{-a} \, {}_2F_1 \biggl[ \begin{matrix} a, \, c-b \\ c \end{matrix} \mid \frac{z}{z-1} \biggr] \\
  &= (1-z)^{-a} \, \biggl( 1 - \frac{z}{z-1} \biggr)^{\! b-c} \, {}_2F_1 \biggl[ \begin{matrix} c-a, \, c-b \\ c \end{matrix} \mid \frac{z/(z-1)}{z/(z-1)-1} \biggr] \\ 
  &= (1-z)^{c-a-b} \, {}_2F_1 \biggl[ \begin{matrix} c-b, \, c-a \\ c \end{matrix} \mid z \biggr]
\end{aligned} </math>

=== クンマーの二次変換公式 ===
不等式 {{math|&VerticalLine;''z''&VerticalLine; &lt; 1/2}} を満たす任意の複素数 {{math|''z''}} に対し、

:<math> {}_2F_1 \biggl[ \begin{matrix} a, \, b \\ 2b \end{matrix} \mid 2z \biggr] = (1-z)^{-a} \, {}_2F_1 \biggl[ \begin{matrix} \frac{a}2, \, \frac{a+1}2 \\ b+\frac12 \end{matrix} \mid \biggl( \frac{z}{1-z} \biggr)^{\! 2} \biggr] </math>

が成り立つ。これを'''クンマーの二次変換公式'''（英: Kummer's quadratic transformation）という。

=== ベイリーの変換公式 ===
不等式 {{math|&VerticalLine;''z''&VerticalLine; &lt; 3 &minus; 2{{sqrt|2}}}} を満たす任意の複素数 {{math|''z''}} に対し、

:<math> {}_2F_1 \biggl[ \begin{matrix} a, \, b \\ 2b \end{matrix} \mid \frac{4z}{(1+z)^2} \biggr] = (1+z)^{2a} \, {}_2F_1 \biggl[ \begin{matrix} a, \, a-b+\frac12 \\ b+\frac12 \end{matrix} \mid z^2 \biggr] </math>

が成り立つ。これを'''ベイリーの変換公式'''（英: Bailey's transformation）という。

== 超幾何微分方程式 ==
{{Main|ガウスの微分方程式}}

== 参考文献 ==
*{{Citation|和書
|author= 齋藤利弥
|title= 常微分方程式論
|publisher= 朝倉書店
|series= 近代数学講座5
|date= 1967-8-25
|isbn= 978-4254116533
|ref= {{Harvid|齋藤|1967}}
}}
*{{Citation|和書
|author= 福原満洲雄
|authorlink= 福原満洲雄
|title= 常微分方程式
|edition= 第2版
|publisher= 岩波書店
|series= 岩波全書116
|date= 1980-05-23
|isbn= 978-4-00-021234-2
|ref= {{Harvid|福原|1980}}
}}
*{{Citation|和書
|author1= 青本和彦
|author2= 喜多通武
|title= 超幾何関数論
|publisher= シュプリンガー・フェアラーク東京
|series= シュプリンガー現代数学シリーズ
|date= 1994-8-23
|isbn= 978-4431706625
}}
*{{Citation|和書
|author= 西本敏彦
|title= 超幾何・合流型超幾何微分方程式
|publisher= 共立出版
|date= 1998-11
|isbn= 978-4-320-01593-7
|ref= {{Harvid|西本|1998}}
}}
*{{Citation|和書
|author= 原岡喜重
|title= 超幾何関数
|publisher= 朝倉書店
|series= すうがくの風景7
|date= 2002-10-25
|isbn= 978-4-254-11557-4
}}
*{{Citation|和書
|author= 坂井秀隆
|title= 常微分方程式
|publisher= 東京大学出版会
|series= 大学数学の入門10
|date= 2015-8-24
|isbn= 978-4-13-062960-7
}}

== 関連項目 ==
=== 超幾何級数 ===
* [[一般化された超幾何関数]]
* [[q超幾何級数|{{math|''q''}} 超幾何関数]]
* {{仮リンク|マイヤーの G 関数|en|Meijer G-function}}
* {{仮リンク|アペルの超幾何関数|en|Appell series}}
* {{仮リンク|カンペドフェリエの超幾何関数|en|Kampé de Fériet function}}
* {{仮リンク|ラウリチェラの超幾何級数|en|Lauricella hypergeometric series}}

=== 合流型超幾何関数 ===
* {{仮リンク|合流型超幾何関数|en|Confluent hypergeometric function}}
* {{仮リンク|ハンバート級数|en|Humbert series}}

=== その他 ===
* [[オイラー積分]]
* [[特殊関数]]
** [[ガンマ関数]]
** [[ベッセル関数]]
* {{仮リンク|楕円超幾何級数|en|elliptic hypergeometric series}}

== 外部リンク ==
*{{MathWorld|title=Hypergeometric Function|urlname=HypergeometricFunction}}

{{級数}}

{{DEFAULTSORT:ちようきかかんすう}}
[[Category:級数]]
[[Category:常微分方程式]]
[[Category:超幾何級数]]
[[Category:数学に関する記事]]