超弾性のソースを表示

{{言葉を濁さない|date=2010-11}}
<!--| 孤立 = 2010-11-->
{{連続体力学}}
'''超弾性'''（ちょうだんせい、Hyperelasticity）とは、物体を構成する物質の力学的特性の数理的表現のひとつであり、ひずみエネルギー密度関数（単位体積あたりのひずみエネルギーを表す弾性ポテンシャル）を有することが特徴である。超弾性を有する物質を'''超弾性体'''とよび、ゴムの最も簡易なモデルとして登場したことに由来して、数十％～数百％の大ひずみ状態を想定している。

== 構成則 ==
[[弾性]]とは、ある位置<math>\boldsymbol{X}</math>の応力がそこの[[変形勾配]]<math>\boldsymbol{F}</math>で決まる性質を表す。このときの応力は、[[応力#パイオラ･キルヒホッフ応力テンソル|第一ピオラ-キルヒホッフ応力]]<math>\boldsymbol{P}</math>を用いると、
: <math>\boldsymbol{P} = \boldsymbol{P} ( \boldsymbol{F}(\boldsymbol{X}), \boldsymbol{X})
</math>
と書ける。

特別な場合として、ある変形区間での応力による仕事が、初期<math>t_0</math>における状態と<math>t</math>における状態のみに依存して、変形の経路に非依存なとき、この性質を'''超弾性'''という。経路非依存性より、以下に示すポテンシャル関数<math>\Phi</math>が得られる。
: <math>
\Phi( \boldsymbol{F}(\boldsymbol{X}), \boldsymbol{X})
=  \int_{t_0}^{t} \boldsymbol{P} ( \boldsymbol{F}(\boldsymbol{X}), \boldsymbol{X}): \dot{\boldsymbol{F}} dt
</math>
: <math>\dot{\Phi} = \boldsymbol{P} : \dot{\boldsymbol{F}}
</math>

<math>\Phi(\boldsymbol{F}, \boldsymbol{X})</math>と考えると、<math>\dot{\Phi}</math>は
: <math>\dot{\Phi} = \sum_{i, J = 1}^{3} \frac{\partial \Phi}{\partial F_{iJ}} \dot{F}_{iJ}</math>
と書ける。
これを:<math>\dot{\Phi} = \boldsymbol{P} : \dot{\boldsymbol{F}}</math>と比較すると、<math>P_{iJ}</math>は
: <math>P_{iJ} = \frac{\partial \Phi}{\partial F_{iJ}} </math>
と書ける。結局、
: <math>\boldsymbol{P}(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{X}),\boldsymbol{X})  = \frac{\partial \Phi((\boldsymbol{X}),\boldsymbol{X})}{\partial \boldsymbol{F}} </math>
と表される。ここで、
<math>\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T\boldsymbol{F}</math>より、<math>\Phi</math>を<math>\boldsymbol{C}</math>の関数として表す。
: <math>\Phi( \boldsymbol{F}(\boldsymbol{X}), \boldsymbol{X})= \Phi( \boldsymbol{C}(\boldsymbol{X}), \boldsymbol{X})
</math>
<math>\frac{1}{2}\dot{\boldsymbol{C}} = \dot{\boldsymbol{E}}</math>より、[[応力#パイオラ･キルヒホッフ応力テンソル|第二ピオラ-キルヒホッフ応力]]<math>\boldsymbol{S}</math>について同様の式展開を行うと、
: <math>\dot{\Phi} = \frac{\partial \Phi}{\partial \boldsymbol{C}} : \dot{\boldsymbol{C}}
= \frac{1}{2}\boldsymbol{S} : \dot{\boldsymbol{C}}</math>
: <math>\boldsymbol{S}(\boldsymbol{C}(\boldsymbol{X}), \boldsymbol{X})
= 2\frac{\partial \Phi}{\partial \boldsymbol{C}}
= \frac{\partial \Phi}{\partial \boldsymbol{E}}
</math>
となる。

== 非圧縮性を有する場合 ==
まず、<math>\boldsymbol{C}</math>で表記した<math>\dot{\phi}</math>の式を次のように変形する。
: <math>
\left(\frac{1}{2}\boldsymbol{S} - \frac{\partial \Phi}{\partial \boldsymbol{C}}\right) : \dot{\boldsymbol{C}} = 0
</math>
[[非圧縮性]]を有することから、<math>J = 1, \dot{J} = 0</math>を<math>\dot{J} = \frac{1}{2}J \boldsymbol{C}^{-1}: \dot{\boldsymbol{C}}</math>に代入して、
:<math>
\frac{1}{2} J \boldsymbol{C}^{-1} : \dot{\boldsymbol{C}} = 0
</math>
を得る。二つの式を比較して、
: <math>
\frac{1}{2}\boldsymbol{S} - \frac{\partial \Phi}{\partial \boldsymbol{C}}
 = \gamma \frac{1}{2} J \boldsymbol{C}^{-1}</math>
を得る。今、<math>\gamma</math>は任意の係数を表す。微圧縮性の場合は<math>J</math>のままの方が便利なので、<math>J = 1</math>を代入していない。変形すると、
: <math>
\boldsymbol{S} = 2\frac{\partial \Phi}{\partial \boldsymbol{C}} + \gamma J \boldsymbol{C}^{-1}
</math>
ここで、<math>p = \frac{1}{3} \mathrm{tr} \,\boldsymbol{\sigma}</math>と定義すると、
: <math>
p = \frac{1}{3} \mathrm{tr} \, \boldsymbol{\sigma} 
= \frac{1}{3} J^{-1} \boldsymbol{S}  : \boldsymbol{C} 
= \frac{2}{3} J^{-1}\frac{\partial \Phi}{\partial \boldsymbol{C}} : \boldsymbol{C}  +  \gamma 
</math>
上の結果から、<math>\gamma</math>と<math>p</math>は
: <math>
\frac{\partial \Phi}{\partial \boldsymbol{C}}  : \boldsymbol{C} = 0
</math>
のときにのみ一致する。これは、<math>\Phi(\alpha \boldsymbol{C}) = \Phi(\boldsymbol{C})</math>となるときに成立する。ここで、<math>\hat{\boldsymbol{C}} = III_C^{-\frac{1}{3}}\boldsymbol{C}</math>によって新たな関数<math>\hat{\Phi}(\boldsymbol{C}) = \Phi(\hat{\boldsymbol{C}})</math>を定義する。<math>\hat{\Phi}(\boldsymbol{C})</math>を用いると、<math>\hat{\Phi}(\boldsymbol{\alpha C}) = \hat{\Phi}(\boldsymbol{C})</math>となることが次のように示される。
: <math>
\hat{\Phi}(\alpha \boldsymbol{C})
= \Phi[(\mathrm{det} \,\alpha \boldsymbol{C})^{-\frac{1}{3}} (\alpha \boldsymbol{C}) ]
= \Phi[(\alpha^3 \mathrm{det} \,\boldsymbol{C})^{-\frac{1}{3}} (\alpha \boldsymbol{C}) ]
= \Phi[(\mathrm{det} \, \boldsymbol{C})^{-\frac{1}{3}} \boldsymbol{C} ]
= \hat{\Phi}( \boldsymbol{C})
</math>
ここで、
<math>III_C = \mathrm{det} \,\boldsymbol{C}</math>を用いた。

非圧縮性の場合、<math>\Phi(\boldsymbol{C})</math>を<math>\hat{\Phi}(\boldsymbol{C})</math>で代替できるため、<math>\boldsymbol{S}</math>の式は次のように表される。
: <math>
\boldsymbol{S} = 2\frac{\partial \hat{\Phi}}{\partial \boldsymbol{C}}+ p J \boldsymbol{C}^{-1}
</math>

偏差成分<math>\boldsymbol{S}'</math>は、
: <math>
\boldsymbol{S}' = 2\frac{\partial \hat{\Phi}}{\partial \boldsymbol{C}}
</math>
である。通常は、<math>\Phi(\boldsymbol{C})</math>と<math>\hat{\Phi}(\boldsymbol{C})</math>は等しくないが、非圧縮性を有する場合、<math>\hat{\boldsymbol{C}} = \boldsymbol{C}</math>より成立する。

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書|author=京谷孝史|authorlink=京谷孝史|year=2008|month=12|title=よくわかる連続体力学ノート|publisher=森北出版|isbn=978-4-627-94811-2|}}
* 社団法人　土木学会　応用力学委員会　編：いまさら聞けない計算力学の常識，丸善，2008．
* {{Cite book
| last1 = Bonet 
| first1 = Javier 
| last2 = Wood
| first2 = Richard D.
| publisher = Cambridge University Press
| year = 2008
| title = Nonlinear Continuum Mechanics for Finite Element Analysis
| edition = 2nd edition
}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:ちようたんせい}}
[[Category:応用力学]]
[[Category:連続体力学]]
[[Category:弾性]]
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