超弾性

テンプレート:言葉を濁さない テンプレート:連続体力学 超弾性（ちょうだんせい、Hyperelasticity）とは、物体を構成する物質の力学的特性の数理的表現のひとつであり、ひずみエネルギー密度関数（単位体積あたりのひずみエネルギーを表す弾性ポテンシャル）を有することが特徴である。超弾性を有する物質を超弾性体とよび、ゴムの最も簡易なモデルとして登場したことに由来して、数十％～数百％の大ひずみ状態を想定している。

構成則

弾性とは、ある位置$𝑿$の応力がそこの変形勾配$𝑭$で決まる性質を表す。このときの応力は、第一ピオラ-キルヒホッフ応力$𝑷$を用いると、

$𝑷=𝑷(𝑭(𝑿),𝑿)$

と書ける。

特別な場合として、ある変形区間での応力による仕事が、初期$t_0$における状態と$t$における状態のみに依存して、変形の経路に非依存なとき、この性質を超弾性という。経路非依存性より、以下に示すポテンシャル関数$\mathrm{\Phi }$が得られる。

$\mathrm{\Phi }(𝑭(𝑿),𝑿)=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}𝑷(𝑭(𝑿),𝑿):\dot{𝑭}dt$

$\dot{\mathrm{\Phi }}=𝑷:\dot{𝑭}$

$\mathrm{\Phi }(𝑭,𝑿)$と考えると、$\dot{\mathrm{\Phi }}$は

$\dot{\mathrm{\Phi }}=\sum _{i,J=1}^3\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial F_{iJ}}{\dot{F}}_{iJ}$

と書ける。 これを:$\dot{\mathrm{\Phi }}=𝑷:\dot{𝑭}$と比較すると、$P_{iJ}$は

$P_{iJ}=\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial F_{iJ}}$

と書ける。結局、

$𝑷(𝑭(𝑿),𝑿)=\frac{\partial \mathrm{\Phi }((𝑿),𝑿)}{\partial 𝑭}$

と表される。ここで、 $𝑪={𝑭}^T𝑭$より、$\mathrm{\Phi }$を$𝑪$の関数として表す。

$\mathrm{\Phi }(𝑭(𝑿),𝑿)=\mathrm{\Phi }(𝑪(𝑿),𝑿)$

$\frac{1}{2}\dot{𝑪}=\dot{𝑬}$より、第二ピオラ-キルヒホッフ応力$𝑺$について同様の式展開を行うと、

$\dot{\mathrm{\Phi }}=\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial 𝑪}:\dot{𝑪}=\frac{1}{2}𝑺:\dot{𝑪}$

$𝑺(𝑪(𝑿),𝑿)=2\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial 𝑪}=\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial 𝑬}$

となる。

非圧縮性を有する場合

まず、$𝑪$で表記した$\dot{\varphi }$の式を次のように変形する。

$(\frac{1}{2}𝑺-\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial 𝑪}):\dot{𝑪}=0$

非圧縮性を有することから、$J=1,\dot{J}=0$を$\dot{J}=\frac{1}{2}J{𝑪}^{-1}:\dot{𝑪}$に代入して、

$\frac{1}{2}J{𝑪}^{-1}:\dot{𝑪}=0$

を得る。二つの式を比較して、

$\frac{1}{2}𝑺-\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial 𝑪}=\gamma \frac{1}{2}J{𝑪}^{-1}$

を得る。今、$\gamma$は任意の係数を表す。微圧縮性の場合は$J$のままの方が便利なので、$J=1$を代入していない。変形すると、

$𝑺=2\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial 𝑪}+\gamma J{𝑪}^{-1}$

ここで、$p=\frac{1}{3}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathit{\sigma }$と定義すると、

$p=\frac{1}{3}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathit{\sigma }=\frac{1}{3}{J}^{-1}𝑺:𝑪=\frac{2}{3}{J}^{-1}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial 𝑪}:𝑪+\gamma$

上の結果から、$\gamma$と$p$は

$\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial 𝑪}:𝑪=0$

のときにのみ一致する。これは、$\mathrm{\Phi }(\alpha 𝑪)=\mathrm{\Phi }(𝑪)$となるときに成立する。ここで、$\widehat{𝑪}=II{I}_C^{-\frac{1}{3}}𝑪$によって新たな関数$\hat{\mathrm{\Phi }}(𝑪)=\mathrm{\Phi }(\widehat{𝑪})$を定義する。$\hat{\mathrm{\Phi }}(𝑪)$を用いると、$\hat{\mathrm{\Phi }}(\mathit{\alpha }𝑪)=\hat{\mathrm{\Phi }}(𝑪)$となることが次のように示される。

$\hat{\mathrm{\Phi }}(\alpha 𝑪)=\mathrm{\Phi }[(\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\alpha 𝑪{)}^{-\frac{1}{3}}(\alpha 𝑪)]=\mathrm{\Phi }[({\alpha }^3\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}𝑪{)}^{-\frac{1}{3}}(\alpha 𝑪)]=\mathrm{\Phi }[(\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}𝑪{)}^{-\frac{1}{3}}𝑪]=\hat{\mathrm{\Phi }}(𝑪)$

ここで、 $II{I}_C=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}𝑪$を用いた。

非圧縮性の場合、$\mathrm{\Phi }(𝑪)$を$\hat{\mathrm{\Phi }}(𝑪)$で代替できるため、$𝑺$の式は次のように表される。

$𝑺=2\frac{\partial \hat{\mathrm{\Phi }}}{\partial 𝑪}+pJ{𝑪}^{-1}$

偏差成分${𝑺}^{\prime }$は、

${𝑺}^{\prime }=2\frac{\partial \hat{\mathrm{\Phi }}}{\partial 𝑪}$

である。通常は、$\mathrm{\Phi }(𝑪)$と$\hat{\mathrm{\Phi }}(𝑪)$は等しくないが、非圧縮性を有する場合、$\widehat{𝑪}=𝑪$より成立する。

参考文献

• テンプレート:Cite book
• 社団法人　土木学会　応用力学委員会　編：いまさら聞けない計算力学の常識，丸善，2008．
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