超相対論的極限のソースを表示

[[物理学]]において、[[粒子]]が'''超相対論的'''であるとは、粒子の[[速さ]]が[[光速]] {{Mvar|c}} に非常に近いことをいう。

[[相対性理論]]によれば、粒子の[[エネルギー]]は[[静止質量]] {{Mvar|m}} と[[運動量]] {{Mvar|p}} を用いて下式のように[[静止エネルギー]]と[[運動エネルギー]]の和を用いて表わせる。

:<math>E^2 = m^2 c^4 + p^2 c^2</math>

超相対論的粒子のエネルギーはほとんど全てがその運動エネルギーであり ({{Math|''pc'' ≫ ''mc''{{Sup|2}}}})、従って {{Math|''E'' {{=}} ''pc''}} のように[[近似]]できる。 このような状況は、質量を固定して運動量 {{Mvar|p}} を非常に大きな値にしたとき、またはエネルギー {{Mvar|E}} を固定して質量 {{Mvar|m}} を無視できる値にまで小さくしたときに生じる。後者は[[光子]]のような質量のない粒子の[[弾道|飛跡]]を質量のある粒子により導く際に用いられる（{{仮リンク|一般相対論における二体問題|en|Two-body problem in general relativity}}を参照）。

一般に、ある式の'''超相対論的極限'''とは、 {{Math|''pc'' ≫ ''mc''<sup>2</sup>}} を仮定したとき、または[[ローレンツ因子]] {{Mvar|&gamma;}} が非常に大きいとき ({{Math|''γ'' ≫  1}}) に得られる単純化された式のことである<ref>{{Harv|Dieckmann|2005}}</ref>。

== 超相対論的近似式 ==
{{Math|''c'' {{=}} 1}} とする[[単位系]]における超相対論的近似式をいくつか下に示す。[[ラピディティ]]は {{Mvar|φ}} で表わすものとする。
* {{Math|1 − ''v'' ≈ {{sfrac|1|2''γ''{{Sup|2}}}}}}
* {{Math|''E'' − ''p'' {{=}} ''E''(1 − ''v'') ≈ {{sfrac|''m''{{Sup|2}}|2''E''}} {{=}} {{sfrac|''m''|2''γ''}}}}
* {{Math|''φ'' ≈ ln(2''γ'')}}
* [[リンドラー座標|等固有加速度運動]]: {{Math|''d'' ≈ ''e''<sup>''aτ''</sup>/(2''a'')}} 
*: ここで、 {{Mvar|d}} は運動した[[距離]]、 {{Math|''a'' {{=}} ''dφ''/''dτ''}} は固有加速度 ({{Math|''aτ'' ≫ 1}})、 {{Mvar|τ}} は[[固有時|固有時間]]であり、運動は静止状態から始まるものとし、[[加速度]]は常に一定方向に働くものとする（詳細は{{仮リンク|固有加速度|en|Proper acceleration}}を参照）。
* 固定[[ターゲット (衝突現象)|ターゲット]]との超相対論的衝突の重心系におけるエネルギー: {{Math|''E''<sub>CM</sub> ≈ {{sqrt|2''E''<sub>1</sub>''E''<sub>2</sub>}}}}
*: ここで、 {{Math|''E''<sub>1</sub>}} と {{Math|''E''<sub>2</sub>}} それぞれは衝突する粒子とターゲットのエネルギー（従って {{Math|''E''<sub>1</sub> ≫ ''E''<sub>2</sub>}}）、 {{Math|''E''<sub>CM</sub>}} は重心系におけるエネルギーである。

== 近似の精度 ==
粒子のエネルギー計算については、超相対論的極限の[[相対誤差]]は、速度が {{Math|''v'' {{=}} 0.95''c''}} のときおよそ {{Math|10}}% であり、 {{Math|''v'' {{=}} 0.99''c''}} のときちょうど {{Math|2}}% である。 [[ニュートリノ]]のような粒子では、 {{Mvar|&gamma;}} （[[ローレンツ因子]]）は多くの場合 {{Val|e=6}} よりも大きく（つまり {{Mvar|v}} は非常に {{Mvar|c}} に近く）、近似はほとんど厳密に近い。

== 逆の極限 ==
超相対論的極限の正反対の場合として、'''古典粒子'''もしくは'''非相対論極限'''とよばれる場合がある。粒子の速さは {{Mvar|c}} よりも非常に小さく、そのエネルギーは {{Math|''E'' {{=}} ''mc''<sup>2</sup> + {{frac|''p''<sup>2</sup>|2''m''}}}} により近似できる。

== 関連項目 ==
* [[古典力学]]
* [[特殊相対性理論]]
* [[アイヒェルブルク・ゼクスルウルトラブースト]]

== 出典 ==
{{Reflist}}

== 参照文献 ==
* {{Cite journal|ref = harv|last = Dieckmann|first = M. E.|title = Particle simulation of an ultrarelativistic two-stream instability|journal = Phys. Rev. Lett.|volume = 94|issue = 15|page = 155001|year = 2005|pmid = 15904153|doi = 10.1103/PhysRevLett.94.155001|bibcode = 2005PhRvL..94o5001D}}
[[Category:特殊相対性理論]]
[[Category:高エネルギー物理学]]
{{DEFAULTSORT:ちようそうたいろんてききよくげん}}