軌道 (力学系)のソースを表示

{{混同|軌道 (力学)}}
[[力学系]]における'''軌道'''（きどう）とは、初期条件に対して時間発展のルールを適用したときに定まる、[[相空間]]上の点の[[集合]]である。連続的な時間を仮定した系だと、軌道は相空間内で一本の曲線となり、離散的な時間を仮定した系だと、軌道は相空間内で点列となる。

==定義==
===一般===
[[力学系]]を定める[[相空間]]を {{Mvar|X}}、時間を {{Mvar|G}}、時間発展のルールを {{Mvar|''&#x3D5;'': ''G'' &times; ''X'' &rarr; ''X''}} とする。ある {{Math|''t'' &isin; ''G''}} に固定したときの {{Mvar|&#x3D5;}} を[[写像]] {{Math|''&#x3D5;''<sup>''t''</sup>}} と表し、{{Math|''X'' &ni; ''x'' {{mapsto}} ''&#x3D5;''<sup>''t''</sup>(''x'') &isin; ''X''}} である。{{Mvar|G}} は[[結合法則]] {{Math2|''t''<sub>1</sub> + ''t''<sub>2</sub> (''t''<sub>1</sub>, ''t''<sub>2</sub> &isin; ''T'')}} で表される[[群 (数学)|群]]構造を持ち、{{Math|''&#x3D5;''<sup>''t''</sup>}} は、
#<math> \phi^{e} = \mathrm{id} </math>
#<math> \phi^{t_1} \circ \phi^{t_2} = \phi^{t_1 + t_2} </math>
という性質を満たす{{Sfn|Kuznetsov|1998|p=6}}{{Sfn|白石|2014|p=166}}。ここで {{Mvar|e}} は {{Mvar|G}} の[[単位元]]、{{Math|id}} は[[恒等写像]]、{{math|∘}} は[[写像の合成]]を意味する。

このような力学系 {{Math|''X'', ''T'', ''&#x3D5;''<sup>''t''</sup>}} において 
:<math> O(x_{0}) =\{ x \in X \mid \phi_{t} (x_{0}), t \in T \} </math>
で定義される {{Mvar|X}} の[[順序集合|順序部分集合]] {{Math|''O''(''x''<sub>0</sub>)}} を'''軌道'''（{{Lang-en-short|orbit|links=no}}、{{Lang-en-short|trajectory|links=no}}）と呼ぶ{{Sfn|Kuznetsov|1998|p=8}}。ただし、{{Mvar|t}} が取り得る値は {{Math|''&#x3D5;''<sub>''t''</sub>&thinsp;(''x''<sub>0</sub>)}} が定義されている範囲に限られる{{Sfn|Kuznetsov|1998|p=8}}。{{Math|''O''(''x''<sub>0</sub>)}} は「{{Math|''x''<sub>0</sub>}} を通る軌道」と呼ばれる{{Sfn|ウィギンス|2013|p=2}}{{Sfn|國府|2000|p=7}}。軌道の記号には、{{Math|''O''(''x''<sub>0</sub>}} {{Sfn|青木・白岩|2013|pp=16&ndash;17}}{{Sfn|坂井|2015|p=xiv}}{{Sfn|ウィギンス|2013|p=2}}{{Sfn|Devaney|2003|p=16}}{{Sfn|青木|1996|p=6}}{{Sfn|松葉|2011|p=28}}の他に、{{Math|&#x1d4aa;(''x''<sub>0</sub>)}} {{Sfn|國府|2000|p=7}}{{Sfn|荒井|2020|p=25}}、{{Math|''C''(''x''<sub>0</sub>)}} {{Sfn|齋藤|2002|p=9}}、{{Math|''&gamma;''(''x''<sub>0</sub>)}} {{Sfn|郡・森田|2011|p=42}}{{Sfn|今・竹内|2018|p=145}}、{{Math|&Gamma;(''x''<sub>0</sub>)}} {{Sfn|Jackson|1994|p=44}}、{{Math|Orb(''x''<sub>0</sub>)}} {{Sfn|白石|2014|p=167}}などの表記がある。

[[群論]]の言葉では軌道は次のように定義される。上記を満たす写像 {{Mvar|&#x3D5;}} を、群 {{Mvar|G}} の集合 {{Mvar|X}} への[[群作用|作用]]という。この作用 {{Mvar|&#x3D5;}} について、{{Mvar|X}} 上の2点 {{Math|''x''<sub>0</sub>, ''y''}} が適当な {{Mvar|t}} を選びさえすれば {{Math|''&#x3D5;''<sub>''t''</sub>&thinsp;(''x''<sub>0</sub>) {{=}} ''y''}} という関係を満たすとき、{{Math|''x''<sub>0</sub>, ''y''}}  は[[同値関係]] {{Math|''x''<sub>0</sub> &sim; ''y''}} にあると定義する。この同値関係によって {{Mvar|X}} を分ける[[同値類]]が'''軌道''' {{Math|''O''(''x''<sub>0</sub>)}} である{{Sfn|白石|2014|pp=166&ndash;167}}。

時間 {{Mvar|G}} が[[整数]] {{Math|&Zopf;}} のときの力学系を'''離散力学系'''と呼び、{{Mvar|G}} が[[実数]] {{Math|&Ropf;}} のときを'''連続力学系'''と呼ぶ{{Sfn|Kuznetsov|1998|p=5}}{{Sfn|白石|2014|p=167}}。相空間上のどの点も初期値となりうるので、相空間は何かしらの軌道によって完全に埋め尽くされる{{Sfn|Strogatz|2015|p=8}}。力学系理論の主目的は、系の軌道の性質・振る舞いを調べることにある{{Sfn|久保・矢野|2018|p=166}}{{Sfn|青木・白岩|2013|p=17}}。特に力学系理論の場合、時間が正または負の無限大に発散するときの漸近的振る舞いを問題とする{{Sfn|荒井|2020|p=164}}{{Sfn|國府|2000|p=12}}{{Sfn|青木・白岩|2013|p=17}}。軌道同士の相互関係や、系に[[摂動]]が加わったときに起こる軌道全体の構造の変化なども力学系理論の題目である{{Sfn|青木・白岩|2013|p=17}}。

===離散力学系===
[[File:Orbit of spiral source on two dimensional linear discrete dynamical system.png|thumb|300px|二次元離散力学系の軌道の例。実部が正の複素固有値を持つ線形系で、渦状源点型の軌道すなわち回転しながら原点から離れていく軌道を取る。軌道は相平面上の点列となる（点をつなぐ矢印は補助のために示されている）。]]

離散力学系は[[写像の反復]]によって定義される{{Sfn|白石|2014|p=176}}。相空間上のある点 {{Math|''x''<sub>0</sub> &isin; ''M''}} に[[写像]] {{Math|''f'': ''M'' &rarr; ''M''}} を繰り返し適用することで、{{Math|1= ''x''<sub>0</sub>, ''f''&thinsp;(''x''<sub>0</sub>), ''f''&thinsp;<sup>2</sup>(''x''<sub>0</sub>), &hellip; ''f''&thinsp;<sup>''n''</sup>(''x''), &hellip; }} という[[点列]]が得られる。点列は {{Math2|''x''<sub>0</sub>, ''x''<sub>1</sub> {{=}} ''f''&thinsp;(''x''<sub>0</sub>), ''x''<sub>2</sub> {{=}} ''f''&thinsp;<sup>2</sup>(''x''<sub>0</sub>), &hellip; ''x''<sub>''n''</sub> {{=}} ''f''&thinsp;<sup>''n''</sup>(''x''<sub>0</sub>), &hellip;}} とも表す{{Sfn|デバニー|2007|p=20}}。この点列が離散力学系の軌道である{{Sfn|デバニー|2007|p=20}}。多くの力学系で {{Mvar|f}} は[[連続写像]]である{{Sfn|Kuznetsov|1998|p=7}}。

例えば、{{Math|&Ropf;}} 上の[[正弦関数]] {{Math|''f''(''x'') {{=}} sin(''x'')}} で定義される離散力学系を考える。{{Math|''x''<sub>0</sub> {{=}} 123}} とすると、
:<math>
\begin{align}
x_0 & = 123 \\
x_1 & = -0.4599\ldots \\
x_2 & = -0.4438\ldots \\
\vdots \\
x_{300} & = -0.0975\ldots \\
x_{301} & = -0.0974\ldots \\
\vdots
\end{align}
</math>
というような数列がその軌道である{{Sfn|デバニー|2007|p=20}}。

細かく分けると、点列 {{Math|1= ''x''<sub>0</sub>, ''f''&thinsp;(''x''<sub>0</sub>), ''f''&thinsp;<sup>2</sup>(''x''<sub>0</sub>), &hellip;}} は特に'''前方軌道'''{{Sfn|Devaney|2003|p=16}}{{Sfn|松葉|2011|p=28}}や'''正の半軌道'''{{Sfn|久保・矢野|2018|p=166}}{{Sfn|小室|2005|p=23}}と呼ばれ、{{Math|''O''<sub>+</sub>(''x''<sub>0</sub>)}} {{Sfn|青木|1996|p=6}}や {{Math|''O''<sup>+</sup>(''x''<sub>0</sub>)}} {{Sfn|Devaney|2003|p=16}}のように表す。

:<math>O_{+}(x_0)= \{ f^{n}(x_0) \mid n = 0,\ 1,\, 2, \ldots \}</math>

一方、{{Mvar|f}} が可逆で[[逆写像]] {{Math|''f''&thinsp;<sup>&minus;1</sup>}} を持つとき、{{Math|''f''&thinsp;<sup>0</sup>}} は恒等写像だとして、{{Math|''k'' < 0}} についても写像の反復 {{Math|''f''&thinsp;<sup>''k''</sup>}} が定義できる{{Sfn|Kuznetsov|1998|p=7}}。それによって、{{Math|1= ''x''<sub>0</sub>, ''f''&thinsp;<sup>&minus;1</sup>(''x''<sub>0</sub>), ''f''&thinsp;<sup>&minus;2</sup>(''x''<sub>0</sub>), &hellip;}} という点列が定義でき、{{Math|''O''<sub>&minus;</sub>(''x''<sub>0</sub>)}} などのように表す{{Sfn|Devaney|2003|p=16}}{{Sfn|松葉|2011|p=28}}。

:<math>O_{-}(x_0)= \{ f^{n}(x_0) \mid n = 0, -1, -2, \ldots \}</math>

逆写像によって定まる点列 {{Math|''O''<sub>&minus;</sub>(''x''<sub>0</sub>)}} は'''後方軌道'''{{Sfn|Devaney|2003|p=16}}{{Sfn|松葉|2011|p=28}}や'''負の半軌道'''{{Sfn|川上|1990|p=139}}と呼ばれる。正の半軌道と負の半軌道を足し合わせた集合

:<math>
\begin{align}
O(x_0) & = \{ f^{n}(x_0) \mid n \in \Z \} \\
           & = \{ \ldots,\ f^{-2}(x_0),\ f^{-1}(x_0),\ x_{0},\ f(x_0),\ f^{2}(x_0),\ \ldots \} \\
           & = \{ \ldots,\ x_{-2},\ x_{-1},\ x_{0},\ x_{1},\ x_{2},\ \ldots \} \\
\end{align}
</math>

を'''軌道'''{{Sfn|川上|1990|pp=139&ndash;140}}{{Sfn|國府|2000|p=7}}{{Sfn|青木・白岩|2013|p=6}}や'''全軌道'''{{Sfn|松葉|2011|p=28}}{{Sfn|Devaney|2003|p=16}}と呼ぶ。

===連続力学系===
[[File:Orbit of spiral source on two dimensional linear continuous dynamical system.png|thumb|300px|二次元連続力学系の軌道の例。実部が正の複素固有値を持つ線形系で、渦状源点型の軌道すなわち回転しながら原点から離れていく軌道を取る。軌道は相平面上の曲線となる。]]

連続力学系を定義する一番普通の方法は、[[微分方程式]]による定義である{{Sfn|Kuznetsov|1998|p=18}}。相空間 {{Mvar|X}} が[[ユークリッド空間]]か[[多様体]]だとする。[[未知関数]] {{Math|''x''(''t'') &isin; ''X''}} の[[常微分方程式|常微分方程式系]] 

:<math>\frac{dx(t)}{dt} = V(x(t)) </math>

を考える。この微分方程式が初期条件 {{Math|''x''(0) {{=}} ''x''<sub>0</sub>}} を満たす[[方程式|解]]を {{Math|''x''(''t'', ''x''<sub>0</sub>)}} と表す。微分方程式を決めている関数 {{Math|''V''(''x'')}} は {{Mvar|X}} 上に[[ベクトル場]]を与える{{Sfn|久保・矢野|2018|p=28}}。この解 {{Math|''x''(''t'', ''x''<sub>0</sub>)}} は上の節で一般的に定義した写像 {{Math|''&#x3D5;''<sub>''t''</sub>&thinsp;(''x''<sub>0</sub>)}} と等しい{{Sfn|Kuznetsov|1998|p=21}}。

微分方程式の解が存在する {{Mvar|t}} の領域を {{Math|''I'' &sub; &Ropf;}} とする。連続力学系の'''軌道'''とは、

:<math>O(x_0)= \{ x (t,\ x_{0}) \mid \ t \in I \}</math>

で定義される集合である{{Sfn|今・竹内|2018|p=145}}{{Sfn|ウィギンス|2013|pp=1&ndash;2}}。ただし、{{Math|''O''(''x''<sub>0</sub>)}} には {{Mvar|t}} が小さい方から大きい方に向かって向きが付いている{{Sfn|今・竹内|2018}}。

簡単のために {{math|1= ''I'' = (&minus;&infin;, &infin;)}} だと仮定すれば、連続力学系の'''正の半軌道'''は、

:<math>O_{+}(x_0)= \{ x (t,\ x_{0}) \mid  0 \le t < \infty\}</math>

で定義され、'''負の半軌道'''は、

:<math>O_{-}(x_0)= \{ x (t,\ x_{0}) \mid  -\infty < t \le 0 \}</math>

で定義される{{Sfn|坂井|2015|p=xiv}}{{Sfn|郡・森田|2011|p=52}}。正の半軌道と負の半軌道を足し合わせた集合

:<math>O(x_0)= \{ x (t,\ x_{0}) \mid  t \in \R \} </math>

を離散力学系と同様に'''軌道'''{{Sfn|坂井|2015|p=xiv}}{{Sfn|郡・森田|2011|p=52}}{{Sfn|柴山|2016|p=1}}や'''全軌道'''{{Sfn|郡・森田|2011|p=52}}と呼ぶ。

連続力学系の {{Math|''x''<sub>0</sub>}} を通る軌道は、相空間上の {{Math|''x''<sub>0</sub>}} を通る一つの曲線に対応する{{Sfn|齋藤|2002|p=8}}。この曲線を微分方程式の'''解曲線'''とも呼ぶ{{Sfn|小室|2005|p=7}}。軌道（解曲線）上の各点 {{Mvar|x}} にはベクトル場のベクトル {{Math|''V''(''x'')}} が存在し、軌道に接している{{Sfn|丹羽|2004|p=36}}。解曲線のことを'''解軌道'''という風に呼ぶこともある{{Sfn|船越|2008|p=78}}{{Sfn|今・竹内|2018|p=107}}。微分方程式を満たす解 {{Math|''x''(''t'')}} を指して解軌道{{Sfn|千葉|2021|p=100}}{{Sfn|高橋|2004|p=5}}や軌道{{Sfn|柴山|2016|p=1}}{{Sfn|小室|2005|p=18}}と呼ぶこともある。

==特殊な軌道==
===不動点・平衡点===
{{Main|不動点|平衡点}}
もっとも単純な軌道としては、離散力学系の'''[[不動点]]'''と連続力学系の'''[[平衡点]]'''がある{{Sfn|川上|1990|pp=140&ndash;141}}{{Sfn|柴山|2016|pp=2&ndash;3}}{{Sfn|Kuznetsov|1998|p=9}}。これら2つを共に「不動点」{{Sfn|ウィギンス|2013|pp=6, 9}}{{Sfn|千葉|2021|pp=111, 208}}と呼んだり、「平衡点」{{Sfn|今・竹内|2018|pp=108, 216}}{{Sfn|松葉|2011|p=32}}と呼ぶこともある。以下では区別して記す。

離散力学系の不動点とは、写像 {{Mvar|f}} を適用しても動かない点のことで、{{Math|''f''&thinsp;(''x''<sub>0</sub>) {{=}} ''x''<sub>0</sub>}} を満たす点 {{Math|''x''<sub>0</sub>}} である{{Sfn|デバニー|2007|p=21}}。不動点 {{Math|''x''<sub>0</sub>}} での軌道は {{Math|''O''(''x''<sub>0</sub>) {{=}} {{Mset|''x''<sub>0</sub>, ''x''<sub>0</sub>, ''x''<sub>0</sub>,&hellip;}} }} という定数の列となる{{Sfn|デバニー|2007|p=21}}。連続力学系の平衡点とは、時間が経っても動かない点である{{Sfn|森・水谷|2009|p=29}}。平衡点 {{Math|''x''<sub>0</sub>}} での軌道は {{Math|''O''(''x''<sub>0</sub>) {{=}} {{Mset|''x''<sub>0</sub>}} }} となる{{Sfn|坂井|2015|p=xv}}。微分方程式で定まる系の場合、定常解 {{Math|''x''(''t'') &equiv; ''x''<sub>0</sub>}} のことで、微分方程式の右辺（ベクトル場）{{Math|''V''(''x''<sub>0</sub>) {{=}} 0}} を満たす点 {{Math|''x''<sub>0</sub>}} が平衡点である{{Sfn|柴山|2016|pp=2&ndash;3}}。

ひとまとめされることがあるように不動点も平衡点も同じ性質のものだといえる{{Sfn|松葉|2011|p=32}}。一般化された定義を与えると、時間発展のルール {{Math|''&#x3D5;''<sup>''t''</sup>}} が任意の {{Math|''t'' &isin; ''G''}} について {{Math|''&#x3D5;''<sup>''t''</sup>(''x''<sub>0</sub>) {{=}} ''x''<sub>0</sub>}} を満たすときの {{Math|''x''<sub>0</sub>}} が不動点・平衡点である{{Sfn|Kuznetsov|1998|p=9}}。不動点・平衡点を調べることは、一般の軌道を調べるよりも総じて容易であり、与えられた力学系を理解するための重要な手がかりとなる{{Sfn|國府|2000|p=8}}。

===周期軌道===
{{See also|周期点}}
もう一つの比較的単純な軌道が周期軌道である{{Sfn|Kuznetsov|1998|p=9}}。

離散力学系で、非零のある自然数 {{Math|''k'' > 0}} について {{Math|''f''&thinsp;<sup>''k''</sup>(''x''<sub>0</sub>) {{=}} ''x''<sub>0</sub>}} を満たす {{Math|''x''<sub>0</sub>}} を[[周期点]]と呼ぶ{{Sfn|デバニー|2007|p=22}}。条件を満たす最小の {{Mvar|k}} を周期{{Sfn|國府|2000|p=8}}や最小周期{{Sfn|白石|2014|p=177}}と呼ぶ。そして、ある周期点を通る軌道を'''周期軌道'''と呼び{{Sfn|松葉|2011|p=32}}、軌道は'''周期的'''であるという{{Sfn|ウィギンス|2013|p=27}}。周期 {{Mvar|k}} の軌道だと

:<math>O(x_{0}) = \{ x_{0},\ f(x_{0}),\ f^2(x_{0}),\cdots, \ f^{k-1}(x_{0}),\ x_{0},\ f(x_{0}),\ f^2(x_{0}),\cdots \} </math>

のようになる{{Sfn|デバニー|2007|p=22}}。周期軌道の各点は全て同じ周期の周期点である{{Sfn|デバニー|2007|p=23}}。

連続力学系の場合、非零のある実数 {{Math|''T'' > 0}} と任意の {{Mvar|t}} について微分方程式の解が {{Math|''x''(''t'' + ''T'', ''x''<sub>0</sub>) {{=}} ''x''(''t'', ''x''<sub>0</sub>) }} を満たすとき、解を'''周期解'''と呼ぶ{{Sfn|今・竹内|2018|p=110}}。条件を満たす最小の {{Mvar|T}} を周期{{Sfn|今・竹内|2018|p=110}}や最小周期{{Sfn|伊藤|1998|p=26}}{{Sfn|荒井|2020|p=37}}と呼ぶ。このような解の軌道、すなわち集合

:<math>O(x_0)= \{ x(t,\ x_{0}) \mid 0 \le t \le T \}</math>

が連続力学系の'''周期軌道'''である{{Sfn|郡・森田|2011|p=47}}{{Sfn|齋藤|2002|pp=11&ndash;12}}。連続力学系の周期軌道は相空間上で[[閉曲線]]となり、そのため'''閉軌道'''とも呼ばれる{{Sfn|伊藤|1998|p=26}}{{Sfn|荒井|2020|p=37}}。

===準周期軌道===
相空間が[[トーラス]]になると、準周期軌道という種類の軌道が存在し得る{{Sfn|Strogatz|2015|p=303}}。2次元トーラス {{Math|&Topf;<sup>2</sup>}} 上の
:<math>\frac{d \theta_1}{dt} = \omega_1 </math>
:<math>\frac{d \theta_2}{dt} = \omega_2 </math>
という微分方程式を考える。トーラスは {{Math|2''&pi;''}} を法として得られる商集合 {{Math|&Topf;<sup>2</sup> {{=}} &Ropf;<sup>2</sup>/2''&pi;'' &Zopf;<sup>2</sup>}} と見なし、{{Math|(''&theta;''<sub>1</sub>, ''&theta;''<sub>2</sub>) &isin; &Topf;<sup>2</sup>}} である{{Sfn|伊藤|1998|p=138}}。

比 {{Math|''&omega;''<sub>2</sub>/''&omega;''<sub>1</sub>}} が[[有理数]]のとき、この連続力学系の軌道はトーラス上で周期軌道となる{{Sfn|伊藤|1998|p=139}}。一方、{{Math|''&omega;''<sub>2</sub>/''&omega;''<sub>1</sub>}} が[[無理数]]のとき、任意の解は {{Math|&Topf;<sup>2</sup>}} 上を[[稠密集合|稠密]]に埋めつくす{{Sfn|伊藤|1998|p=139}}。後者のような解を'''準周期解'''{{Sfn|伊藤|1998|p=140}}、軌道を'''準周期的'''である{{Sfn|坂井|2015|p=299}}あるいは'''準周期軌道'''{{Sfn|井上・秦|1999|p=72}}{{Sfn|Strogatz|2015|p=303}}と呼ぶ。軌道が準周期的なとき、軌道は閉じることも自己交差することもなく、トーラスに永久に巻きつきながら、トーラス上を軌道で埋め尽くす{{Sfn|井上・秦|1999|p=72}}{{Sfn|Strogatz|2015|p=303}}。一般の {{Mvar|n}} 次元トーラス {{Math|&Topf;<sup>''n''</sup>}} についても同種のことが成り立つ{{Sfn|伊藤|1998|p=140}}{{Sfn|井上・秦|1999|p=72}}。

{{Math|&Topf;<sup>2</sup>}} 上の準周期軌道を[[ポアンカレ写像]]によって離散力学系に落とし込むと、ポアンカレ断面でトーラスを切り取った格好となるので、準周期軌道は断面上で閉じた曲線として反映される{{Sfn|井上・秦|1999|p=73}}。{{Math|''&theta;''<sub>1</sub> {{=}} 0}} でポアンカレ写像を構成すると、
:<math> f(\theta_2) = \theta_2 + 2\pi(\omega_{2}/\omega_{1}) \pmod{2\pi}</math>
となり、円周上の点を角度 {{Math|2''&pi;''(''&omega;''<sub>2</sub>/''&omega;''<sub>1</sub>)}} ずつ動かす写像になる{{Sfn|Hirsch, Smale & Devaney|2007|p=120}}。{{Math|''&omega;''<sub>2</sub>/''&omega;''<sub>1</sub>}} が[[無理数]]のとき、この写像の軌道は円周を稠密に埋め尽くす{{Sfn|Hirsch, Smale & Devaney|2007|p=120}}。離散力学系のこのような軌道も'''準周期的'''{{Sfn|アリグッド、サウアー、ヨーク|2012|p=122}}、'''準周期軌道'''{{Sfn|ウィギンス|2013|p=154}}と呼ばれることもある。

==出典==
{{Reflist|2}}

==参照文献==
*{{Cite book ja-jp 
|author = 白石 謙一
|title = 力学系の理論
|url = https://www.iwanami.co.jp/book/b266707.html
|publisher = 岩波書店 
|edition = オンデマンド版 
|year = 2014
|isbn = 978-4-00-730152-0
|ref = {{SfnRef|白石|2014}}
}}
*{{Cite book
|author = Yuri A. Kuznetsov
|title = Elements of Applied Bifurcation Theory
|url = https://link.springer.com/book/10.1007/b98848
|publisher = Springer
|edition = Second
|series = Applied mathematical sciences Vol. 112
|year = 1998
|isbn = 0-387-98382-1
|ref = {{SfnRef|Kuznetsov|1998}}
}}
*{{Cite book ja-jp
|author = 國府 寛司
|title = 力学系の基礎
|series = カオス全書2
|publisher = 朝倉書店
|year = 2000
|edition = 初版
|isbn = 4-254-12672-7
|ref = {{SfnRef|國府|2000}}
}}
*{{Cite book ja-jp 
|author = 荒井 迅
|title = 常微分方程式の解法
|url = https://www.kyoritsu-pub.co.jp/book/b10003676.html
|series = 共立講座 数学探検 15
|publisher = 共立出版
|edition= 初版 
|year = 2020
|isbn = 978-4-320-11188-2
|ref = {{SfnRef|荒井|2020}}
}}
*{{Cite book ja-jp 
|author = 青木 統夫・白岩 謙一 
|title = 力学系とエントロピー 
|url = https://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320110434 
|publisher = 共立出版 
|edition = 復刊 
|year = 2013 
|isbn = 978-4-320-11043-4 
|ref = {{SfnRef|青木・白岩|2013}}
}}
*{{Cite book ja-jp 
|author = 坂井 秀隆
|title = 常微分方程式
|url = https://www.utp.or.jp/book/b307096.html
|series = 大学数学の入門 10 
|publisher =東京大学出版会
|edition= 初版 
|year = 2015
|isbn = 978-4-13-062960-7
|ref = {{SfnRef|坂井|2015}}
}}
*{{Cite book ja-jp 
|author = 齋藤 利弥
|title = 位相力学 ―常微分方程式の定性的理論―
|url = https://www.kyoritsu-pub.co.jp/book/b10011185.html
|publisher = 共立出版
|edition = 復刊
|year = 2002
|isbn = 4-320-01712-9
|ref = {{SfnRef|齋藤|2002}}
}}
*{{Cite book ja-jp 
|author = 郡 宏・森田 善久
|title = 生物リズムと力学系
|url = https://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320110007
|series = シリーズ・現象を解明する数学
|publisher = 共立出版
|year = 2011
|edition = 初版
|isbn = 978-4-320-11000-7
|ref = {{SfnRef|郡・森田|2011}}
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*{{Cite book ja-jp 
|author = S. ウィギンス
|translator = 今井 桂子・田中 茂・水谷 正大・森 真
|others = 丹羽 敏雄（監訳）
|title = 非線形の力学系とカオス
|url = https://www.maruzen-publishing.co.jp/item/b294656.html
|edition = 新装版
|publisher = 丸善出版 
|year= 2013
|isbn = 978-4-621-06435-1
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*{{Cite book ja-jp 
|author = Robert L. Devaney 
|title = カオス力学系入門 
|url = https://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320017054
|translator = 後藤 憲一 
|others = 國府 寛司・石井 豊 ・新居 俊作・木坂 正史（新訂版訳）
|publisher = 共立出版 
|year = 2003 
|edition = 新訂版 
|isbn = 4-320-01705-6
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}}
*{{Cite book ja-jp 
|author= 青木 統夫
|title= 力学系・カオス ―非線形現象の幾何学的構成―
|url = https://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320033405
|year= 1996
|edition= 初版 
|publisher= 共立出版 
|isbn = 4-320-03340-X 
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}}
*{{Cite book ja-jp 
|author = E. Atlee Jackson 
|translator = 田中 茂・丹羽 敏雄・水谷 正大・森 真 
|title = 非線形力学の展望Ⅰ ―カオスとゆらぎ― 
|url = https://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320033252  
|publisher = 共立出版 
|year = 1994 
|edition = 初版 
|isbn = 4-320-03325-6 
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*{{Cite book ja-jp 
|author = 松葉 育雄 
|title = 力学系カオス 
|url = https://www.morikita.co.jp/books/book/599 
|publisher = 森北出版 
|edition = 第1版 
|year = 2011 
|isbn = 978-4-627-15451-3 
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*{{Cite book ja-jp 
|author= 久保 泉・矢野 公一 
|title= 力学系 
|url = https://www.iwanami.co.jp/book/b355613.html
|publisher= 岩波書店 
|edition= オンデマンド版 
|year= 2018 
|isbn = 978-4-00-730742-3
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*{{Cite book ja-jp 
|author = Steven H. Strogatz
|translator = 田中 久陽・中尾 裕也・千葉 逸人
|title = ストロガッツ　非線形ダイナミクスとカオス ―数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで―
|url = https://www.maruzen-publishing.co.jp/item/b294857.html
|publisher = 丸善出版
|year = 2015
|isbn = 978-4-621-08580-6
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*{{Cite book ja-jp 
|author = ロバート・L・デバニー
|translator = 上江洌 達也・重本 和泰・久保 博嗣・田崎 秀一
|title = カオス力学系の基礎
|publisher = ピアソン・エデュケーション
|year = 2007
|edition = 新装版 
|isbn = 978-4-89471-028-3
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*{{Cite book ja-jp 
|title = 基礎からの力学系 ―分岐解析からカオス的遍歴へ― 
|url = https://www.saiensu.co.jp/search/?isbn=978-4-7819-1118-2&y=2005 
|author = 小室 元政
|publisher=サイエンス社 
|year = 2005 
|edition = 新版 
|isbn = 4-7819-1118-8 
|ref = {{SfnRef|小室|2005}}
}}
*{{Cite book ja-jp 
|title = カオスCGコレクション 
|url = https://www.saiensu.co.jp/search/?isbn=978-4-7819-0591-4&y=1990
|series = Information & Computing 48 
|author = 川上 博 
|publisher = サイエンス社 
|year = 1990 
|edition =初版 
|isbn = 978-4-7819-0591-4 
|ref = {{SfnRef|川上|1990}}
}} 
*{{Cite book ja-jp 
|author = 今 隆助・竹内 康博 
|title = 常微分方程式とロトカ・ヴォルテラ方程式 
|url = https://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320113480 
|publisher = 共立出版 
|year = 2018 
|edition = 初版 
|isbn = 978-4-320-11348-0 
|ref= {{SfnRef|今・竹内|2018}}
}}
*{{Cite journal ja-jp
|author    = 柴山 允瑠
|year = 2016
|title     = 重点解説 ハミルトン力学系 ―可積分系とKAM理論を中心に―
|url       = https://www.saiensu.co.jp/search/?isbn=4910054701265&y=2016
|journal   = 臨時別冊・数理科学2016年12月
|serial    =  SGCライブラリ  130 
|publisher = サイエンス社
|issn      = 0386-8257
|ref = {{SfnRef|柴山|2016}}
}}
*{{Cite book ja-jp
|author = 船越 満明
|title = カオス
|url = http://www.asakura.co.jp/detail.php?book_code=11613
|series = シリーズ 非線形科学入門3
|publisher = [[朝倉書店]]
|year = 2008
|edition = 初版
|isbn = 978-4-254-11613-7
|ref = {{SfnRef|船越|2008}}
}}
*{{Cite book ja-jp 
|author = 丹羽 敏雄
|title = 微分方程式と力学系の理論入門 ―非線形現象の解析にむけて―
|publisher = 遊星社 
|edition = 増補版
|year = 2004
|isbn = 4-7952-6900-9
|ref = {{SfnRef|丹羽|2004}}
}}
*{{Cite book ja-jp 
|author = 高橋 陽一郎 
|title = 力学と微分方程式 
|url = https://www.iwanami.co.jp/book/b259038.html 
|series = 現代数学への入門 
|publisher = 岩波書店 
|year = 2004 
|edition = 初版 
|isbn = 4-00-006875-X 
|ref = {{SfnRef|高橋|2004}}
}}
*{{Cite book ja-jp 
|author = 千葉 逸人
|title = 解くための微分方程式と力学系理論
|url = https://www.gensu.jp/product/%e8%a7%a3%e3%81%8f%e3%81%9f%e3%82%81%e3%81%ae%e5%be%ae%e5%88%86%e6%96%b9%e7%a8%8b%e5%bc%8f%e3%81%a8%e5%8a%9b%e5%ad%a6%e7%b3%bb%e7%90%86%e8%ab%96/
|publisher = 現代数学社
|edition= 初版 
|year = 2021
|isbn = 978-4-7687-0570-4
|ref = {{SfnRef|千葉|2021}}
}}
*{{Cite book ja-jp 
|author =  森 真・水谷 正大
|title = 入門力学系 ―自然の振舞いを数学で読みとく―
|url = http://www.tokyo-tosho.co.jp/books/ISBN978-4-489-02050-6.html
|publisher = 東京図書
|year = 2009
|isbn = 978-4-489-02050-6
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*{{Cite book ja-jp 
|author = 伊藤 秀一 
|title = 常微分方程式と解析力学 
|url = https://www.kyoritsu-pub.co.jp/book/b10011768.html
|series = 共立講座 21世紀の数学 11 
|publisher = 共立出版 
|edition = 初版
|year = 1998
|isbn = 4-320-01563-0
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*{{Cite book ja-jp 
|author = 井上 政義・秦 浩起
|title = カオス科学の基礎と展開 ―複雑系の理解に向けて
|url = https://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320033238
|publisher = 共立出版 
|edition= 初版 
|year = 1999
|isbn = 4-320-03323-X
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*{{Cite book ja-jp 
|author = Morris W. Hirsch; Stephen Smale; Robert L. Devaney
|translator = 桐木 紳・三波 篤朗・谷川 清隆・辻井 正人
|title = 力学系入門　原著第2版 ―微分方程式からカオスまで
|url = https://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320018471
|publisher = 共立出版
|edition = 初版
|year = 2007
|isbn = 978-4-320-01847-1
|ref = {{SfnRef|Hirsch, Smale & Devaney|2007}}
}}
*{{Cite book ja-jp
|author = K.T.アリグッド；T.D.サウアー；J.A.ヨーク
|translator = 星野 高志・阿部 巨仁・黒田 拓・松本 和宏
|others = 津田 一郎（監訳）
|title = カオス　第1巻　力学系入門
|url = https://www.maruzen-publishing.co.jp/item/b302600.html
|publisher = 丸善出版
|year = 2012
|isbn = 978-4-621-06223-4
|ref = {{SfnRef|アリグッド、サウアー、ヨーク|2012}}
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