近代三角形幾何学のソースを表示

{{暫定記事名|date=2024年6月}}
[[ファイル:Lemoine.jpg|サムネイル|162x162ピクセル|エミール・ルモワーヌ (1840–1912)]]
[[数学]]において、{{訳語疑問点範囲|近代三角形幾何学|date=2024-12-25}}（きんだいさんかくけいきかがく、 {{Lang-en|modern triangle geometry, new triangle geometry}}）は[[19世紀]]後半から急激に発展した、[[三角形]]の性質に関連する研究の体系である。

三角形の諸性質は[[ユークリッド]]の時代から研究され続けてきた。[[ユークリッド原論]]では、三角形の重要な心として[[幾何中心|重心]]（幾何中心）、[[内心]]、[[外心]]、[[垂心]]が記述されている。[[17世紀]]の[[ブレーズ・パスカル]]、[[ジョバンニ・チェバ]]、[[18世紀]]の[[レオンハルト・オイラー]]、[[19世紀]]の[[カール・フォイエルバッハ]]など多くの数学者により三角形の研究が成された。19世紀前半から後半にかけての{{仮リンク|三角形幾何学|de|Dreiecksgeometrie}}は近世三角形幾何学と呼ばれる<ref>{{Cite book|和書 |title=初等幾何学 第1巻 平面之部,Traité de géométrie. 7. éd |year=1913 |publisher=[[山海堂 (出版社)|山海堂書店]] |page=535 |author=[[Eugène Rouché]],[[Charles de Comberousse]] |url=https://archive.org/details/traitdegomtriel02combgoog |doi=10.11501/930885 |translator=小倉金之助}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=幾何学続編 付録 |year=1909 |publisher=[[有朋堂]] |pages= |author=[[ジョン・ケイシー (数学者)|ジョン・ケージー]] |doi=10.11501/828521 |translator=[[山下安太郎]], [[高橋三蔵]] |page=12}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=科学的精神と数学教育 |year=1937 |publisher=[[岩波書店]] |author=[[小倉金之助]] |doi=10.11501/1261537}}</ref>。

1873年の[[エミール・ルモワーヌ]]の論文 ''On a remarkable point of the triangle'' は[[ネイサン・アルトシラー・コート]]によって

:laid the foundations...of the modern geometry of the triangle as a whole

と評価されている<ref>{{Cite journal|last=Emile Lemoine|date=1873|title=Sur quelques propriétés d'un point remarquable du triangle|journal=Nouvelles Annales de Mathématiques|pages=364–366}}</ref><ref>{{Cite book |last=Nathan Altschiller-Court |title=College Geometry |publisher=Dover Publications |location=New York |page=304 |ref=Court}}</ref><ref>{{Cite web |title=TRIANGLE GEOMETERS |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/bstud/tg.html |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-07-19}}</ref>。ルモワーヌの著作を出版した{{仮リンク|American Mathematical Monthly|en|American Mathematical Monthly}}は

:To none of these [geometers] more than Émile-Michel-Hyacinthe Lemoine is due the honor of starting this movement of modern triangle geometry

と宣言している<ref name="amm">{{Cite journal|last=Smith|first=David Eugene|author-link=David Eugene Smith|year=1896|title=Biography of Émile-Michel-Hyacinthe Lemoine|journal=[[American Mathematical Monthly]]|volume=3|issue=2|pages=29–33|doi=10.2307/2968278|JSTOR=2968278}}</ref> 。ルモワーヌのこの論文は、19世紀の最後の[[四半世紀]]以後の三角形の性質への関心を非常に高めることとなった。[[1914年]]に出版された {{仮リンク|Klein's Encyclopedia of Mathematical Sciences|en|Klein's Encyclopedia of Mathematical Sciences}}は100ページを超える三角形幾何学の記事で、このような高まりを物語っている一例である<ref>{{Cite book |last=G. Berkhan |last2=W.Fr. Meyer |chapter=10. Neuere Dreiecksgeometrie |pages=1177&ndash;1276 |url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN360609767 |editor=W.Fr. Meyer |editor2=H. Mohrmann |title=Geometrie |location=Leipzig |publisher=B.G. Teubner |series=Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluß ihrer Anwendungen |volume=3.1.2 |year=1914}}</ref><ref name="Davis">{{Cite journal|last=Philip J. Davis|date=1995|title=The Rise, Fall, and Possible Transfiguration of Triangle Geometry: A Mini-history|journal=The American Mathematical Monthly|volume=102|issue=3|pages=204–214|doi=10.1080/00029890.1995.11990561}}</ref>。

「new triangle geometry」は、ただ三角形に関する図形などの対象を指すこともあった。例えば[[ルモワーヌ点]]、[[ブロカール円]]、[[中心線 (幾何学)|ルモワーヌ線]]が挙げられる。後に、[[幾何学的変換|幾何的な変換]]から派生した結果をまとめる理論も開発された。この理論の発展から 「new triangle geometry」は単に対象を指す言葉ではなく、対象の分類や研究の方法に対しても使われる言葉になった。[[1887年]]のヨーロッパとアメリカで使われた幾何学の教科書 ''Teaching new geometrical methods with an ancient figure in the nineteenth and twentieth centuries'' では

:Being given a point M in the plane of the triangle, we can always find, in an infinity of manners, a second point M' that corresponds to the first one according to an imagined geometrical law; these two points have between them geometrical relations whose simplicity depends on the more or less the lucky choice of the law which unites them and each geometrical law gives rise to a method of transformation a mode of conjugation which it remains to study

との記述がある<ref>{{Cite book |last=Pauline Romera-Lebret |chapter=Teaching new geometrical methods with an ancient figure in the nineteenth and twentieth centuries: the new triangle geometry in textbooks in Europe and USA (1888–1952) |contribution-url=https://skemman.is/bitstream/1946/26925/17/RomeraLebret.pdf |access-date=5 January 2022 |title=Dig Where You Stand |editor-first=Kristín |editor-last=Bjarnadóttir |editor2-first=Fulvia |editor2-last=Furinghetti |editor3-first=Gert |editor3-last=Schubring |year=2009 |publisher=University of Iceland |location=Reykjavik |isbn=978-9979-793-99-1 |pages=167–180}}</ref>。

しかし、この高まりは一度収束して、[[20世紀]]まで、完全に姿を見せなかった。 [[エリック・テンプル・ベル]]の ''Development of Mathematics'' 内で、三角形幾何学についてこのような言及がある<ref name="Davis" />。

:The geometers of the 20th Century have long since piously removed all these treasures to the museum of geometry where the dust of history quickly dimmed their luster.

[[フィリップ・J・デイヴィス]]は三角形幾何学の衰退に以下のようないくつかの理由があると述べた<ref name="Davis" />。 

* 専門性が低く初等的だと感じる
* 研究方法の可能性の枯渇
* 視覚的な複雑さ
* 解析的な手法が優先されたこと
* [[タイル張り]]、[[フラクタル]]、[[グラフ理論]]など他の視覚的な分野との競合

近代的な[[コンピュータ]]の登場は、三角形幾何学の復興に大きな影響を与えた。熱心な[[幾何学]]者らによって、三角形幾何学は再び活発な分野となった。 その典型例として、{{仮リンク|クラーク・キンバーリング|en|Clark Kimberling}}の[[三角形の中心|三角形の心]]をまとめた[[ウェブサイト]] ''[[Encyclopedia of Triangle Centers]]'' や、Bernard Gibertの三角形の[[三次曲線]]をまとめたウェブサイト、''[[Catalogue of Triangle Cubics]]'' が挙げられる<ref name="Clark">{{Cite web |author=Clark Kimberling |title=Encyclopedia of Triangle Centers |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/etc.html |publisher=Clark Kimberling |access-date=3 January 2022}}</ref><ref name="Gilbert">{{Cite web |author=Bernard Gibert |url=http://bernard-gibert.fr/ |website=Catalogue of Triangle Cubics |publisher=Bernard Gilbert |title=Catalogue of Triangle Cubics |access-date=3 January 2022}}</ref>。他にも、[[フロリダ・アトランティック大学]]の[[パウル・イウ|パウル・ヨウ]]によるジャーナル ''[[Forum Geometricorum]]'' が近代の三角形幾何学の発展に貢献している。

== ルモワーヌ幾何学 ==

=== ルモワーヌ点 ===
{{Math|△''ABC''}}の重心を{{Mvar|G}}とする。{{Mvar|AG,BG,CG}}をそれぞれ{{Mvar|A,B,C}}の[[角の二等分線]]で[[鏡映]]した線は[[類似中線]]（Symmedian）と呼ばれる。3本の類似中線は[[共点]]で、この点を[[類似重心]]（ルモワーヌ点、グリーブ点）という。{{Math|△''ABC''}}のそれぞれの辺を{{Mvar|a,b,c}}として、類似重心の[[重心座標]]は{{Math|''a''{{sup|2}}:''b''{{sup|2}}:''c''{{sup|2}}}}である。 類似重心は「one of the crown jewels of modern geometry」と言われている<ref name="h">{{Citation|title=Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry|last=Honsberger|first=Ross|author-link=Ross Honsberger|year=1995|publisher=[[Mathematical Association of America]]|chapter=Chapter 7: The Symmedian Point|location=Washington, D.C.}}.</ref>。 この点に関する文献には{{仮リンク|ジョン・スタージャン・マッカイ|en|John Sturgeon Mackay}}の「history of the symmedian point」などがある<ref>{{Cite journal|last=John Mackay|date=1892|title=Early History of the Symmedian Point|url=https://www.cambridge.org/core/services/aop-cambridge-core/content/view/9B8FED488A463550BE6D823A669A7383/S0013091500031254a.pdf/div-class-title-early-history-of-the-symmedian-point-div.pdf|journal=Proceedings of the Edinburgh Math. Soc.|volume=Xi|page=92|accessdate=7 January 2022}}</ref>。

類似重心と重心のような関係は[[等角共役]]として一般化されている。{{Math|△''ABC''}}と点{{Mvar|P}}について、{{Mvar|AP,BP,CP}}をそれぞれ{{Mvar|A,B,C}}の角の二等分線で鏡映した直線は、一点で交わる。これを{{Mvar|P}}の[[等角共役点]]という。

=== ルモワーヌ円 ===
類似重心を通り各辺に[[平行]]な直線と他二辺の交点、計6点は[[共円|同一円上にある]]。この円を[[ルモワーヌ点|第一ルモワーヌ円]]という。円の中心は、類似重心と[[外心]]の[[中点]]である。また、この性質も一般化されている（[[三角形の円錐曲線]]を参照）

類似重心を通る各辺の[[逆平行線]]と、他二辺の交点も共円である。この円を[[ルモワーヌ点|第二ルモワーヌ円]]または余弦円（cosine circle）という。中心は類似重心である。

=== ルモワーヌ軸 ===
{{Math|△''ABC''}}とその[[接線三角形]]（類似重心の[[チェバ線|反チェバ三角形]]）の[[配景]]の軸をルモワーヌ軸という。これは類似重心の[[三線極線]]である<ref>{{Cite book |last=Gallatly, W |title=The Modern Geometry of the Triangle |date=1913 |publisher=Hodgson |location=London |page=92 |edition=2}}</ref><ref>{{Cite book |last=Johnson, R. A. |title=Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle |date=1929 |publisher=Houghton Mifflin |location=Boston, MA |page=294}}</ref>。<gallery class="center" widths="200px" heights="200px">
ファイル:Lemoine_punkt.svg|[[類似中線]] (赤)と類似重心L
ファイル:FirstLemoineCircle.png|第一ルモワーヌ円
ファイル:SecondLemoineCircle.png|第二ルモワーヌ円
ファイル:LemoineAxis.png|ルモワーヌ軸
</gallery>

== 初期の近代三角形幾何学 ==
ルモワーヌの論文が発表された後の三角形幾何学に関する発見を挙げる（1910年の[[ウィリアム・ゲラトゥリ]]の書籍と1929年の[[ロジャー・アーサー・ジョンソン]]の書籍に基づく）<ref>{{Cite book |last=William Gallatly |title=The Modern Geometry of the Triangle |date=1910 |publisher=Francis Hodgson |location=London |url=https://archive.org/details/cu31924001522782 |access-date=4 January 2022}}</ref><ref>{{Cite book |last=Roger A Johnson |title=Advanced Euclidean Geometry |date=31 August 2007 |publisher=Dover Publications Inc. |isbn=978-0486462370}}</ref>。

=== Poristic triangles ===
[[三角形の内接円と傍接円|内接円]]と[[外接円]]を共有する三角形はPoristic triangles（条件付不定<ref>{{Cite book|和書 |title=英和数学新字典 |year=1902 |publisher=開新堂 |page=227 |author=[[宮本藤吉]] |doi=10.11501/826188}}</ref>三角形）と呼ばれる。[[オイラーの定理 (平面幾何学)|オイラーの定理]]によれば、外接円、内接円の半径をそれぞれ{{Mvar|R,r}}として外心と内心の距離の二乗は{{Math|''R''{{sup|2}}-2''Rr''}}で表される。Poristic trianglesに対して、[[幾何中心|重心]]などいくつかの点の[[軌跡 (数学)|軌跡]]は[[円 (数学)|円]]または点となる（[[ヴァイルの定理 (幾何学)|ヴァイルの定理]]、[[ポンスレの閉形定理]]も参照）<ref>{{Cite book |last=William Gallatly |title=The Modern Geometry of the Triangle |date=1910 |publisher=Francis Hodgson |location=London |url=https://archive.org/details/cu31924001522782 |access-date=4 January 2022}} (Chapter III)</ref>。

=== シムソン線 ===
{{Math|△''ABC''}}の外接円上の点{{Mvar|P}}について、{{Mvar|P}}から各辺に降ろした[[垂線]]の足は[[共線]]である。この線は[[シムソン線]]と呼ばれる<ref>{{Cite book |last=William Gallatly |title=The Modern Geometry of the Triangle |date=1910 |publisher=Francis Hodgson |location=London |url=https://archive.org/details/cu31924001522782 |access-date=4 January 2022}} (Chapter IV)</ref>。

=== 垂足三角形と反垂足三角形 ===
点{{Mvar|P}}から各辺に降ろした垂線の足が成す三角形を{{Mvar|P}}の[[垂足三角形]]という<ref>{{MathWorld|title=Pedal Triangle|urlname=PedalTriangle}}</ref>。{{Mvar|A,B,C}}を通り、それぞれ{{Mvar|AP,BP,CP}}に[[垂直]]な直線の成す三角形を反垂足三角形という。 {{Mvar|P}}の垂足三角形と{{Mvar|Q}}の反垂足三角形が{{仮リンク|相似の位置|en|Homothety}}にある且つ、{{Mvar|Q}}の垂足三角形と{{Mvar|P}}の反垂足三角形が相似の位置にある場合、{{Mvar|P,Q}}は''counter points''と呼ばれる<ref>{{MathWorld|title=Antipedal Triangle|urlname=AntipedalTriangle}}</ref><ref>{{Cite book |last=William Gallatly |title=The Modern Geometry of the Triangle |date=1910 |publisher=Francis Hodgson |location=London |url=https://archive.org/details/cu31924001522782 |access-date=4 January 2022}} (Chapters V–VII)</ref>。

=== 直極点 ===
任意の[[直線]]{{Mvar|l}}について、{{Mvar|A,B,C}}から{{Mvar|l}}に降ろした垂線の足を{{Mvar|P,Q,R}}''とする。{{Mvar|P,Q,R}}を通る{{Mvar|BC,CA,AB}}の[[垂線]]は一点で交わる。これを{{Mvar|l}}''の[[直極点]]と言う。近代の三角形幾何学の文献には直極点を扱ったものが多く存在する<ref>{{Cite journal|last=Karl|first=Mary Cordia|date=1932|title=The Projective Theory of Orthopoles|url=https://www.jstor.org/stable/2300757|journal=The American Mathematical Monthly|volume=39|issue=6|pages=327–338|doi=10.2307/2300757|issn=0002-9890}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Goormaghtigh|first=R.|date=1 December 1946|title=1936. The orthopole|url=https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-gazette/article/1936-the-orthopole/DBEC7F7EAF42F485783355CCA8521323|journal=The Mathematical Gazette|volume=30|issue=292|pages=293|doi=10.2307/3610737|JSTOR=3610737}}</ref>。

=== ブロカール点 ===
''{{Mvar|BC,CA,AB}}''に[[接する|接して]]、それぞれ{{Mvar|C,A,B}}を通る円は[[共点|一点で交わる]]。同様に{{Mvar|B,C,A}}を通る円も共点である。この2点を[[ブロカール点]]という。<math>\Omega, \Omega^\prime</math>で表される場合が多い。[[接弦定理]]から示すことができる<ref>{{Cite web |title=ブロカール点の意味とブロカール角の性質 |url=https://manabitimes.jp/math/2860 |website=高校数学の美しい物語 |date=2023-09-21 |access-date=2024-06-15 |language=ja}}</ref>。また、この時{{Math|∠''PBC'',''PCA'',''PAB''}}は等しい。この角を[[ブロカール点|ブロカール角]]といい、<math>\omega</math>で表される。ブロカール角に関して、以下の等式が成り立つ。

: <math>\cot \omega=\cot A + \cot B +\cot C .</math>

ブロカール点、ブロカール角は多くの興味深い性質を持つ<ref>{{Citation|title=Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry|last=Honsberger|first=Ross|year=1995|publisher=The Mathematical Association of America|chapter=Chapter 10. The Brocard Points|location=Washington, D.C.}}</ref><ref>{{MathWorld|title=Brocard Points|urlname=BrocardPoints}}</ref>。

=== 画像 ===
<gallery class="center" widths="150px" heights="150px">
ファイル:PoristicTriangles.png|内接円{{Math|''I''(''r'')}}と外接円{{Math|''Ｏ''(''R'')}}を共有する三角形{{Math|△''ABC'',''A'B'C'''}}
ファイル:SimpsonLine.png|{{Mvar|P}}のシムソン線
ファイル:PedalAntipedalTriangles.png|{{Mvar|P}}の垂足三角形{{Mvar|DEF}}と反垂足三角形{{Mvar|LMN}}
ファイル:Orthopole.svg|{{Mvar|l}}の直極点
ファイル:Brocard_point.svg|第一ブロカール点
</gallery>

== 現代の三角形幾何学 ==

=== 三角形の心 ===
20世紀のもっとも重要な三角形幾何学の概念の一つに[[三角形の中心]]が挙げられる。1994年に{{仮リンク|クラーク・キンバーリング|en|Clark Kimberling}}によって導入され、非常に多くの点が統一的に扱われるようになった<ref>{{Cite journal|last=Clark Kimberling|date=1994|title=Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle|url=https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/0025570X.1994.11996210?journalCode=umma20|journal=Mathematics Magazine|volume=67|issue=3|pages=163–187|accessdate=10 January 2022|doi=10.1080/0025570X.1994.11996210}}</ref>。 この概念の導入後は、三角形の中心なしでは三角形の諸性質は完結しなくなった。

==== 三角形の心の定義 ====
3つの[[実数]]{{Mvar|a,b,c}}について[[関数 (数学)|関数]]{{Mvar|f}}を以下の様に定義する。

* 斉次性: {{Math|1=''f''(''ta'',''tb'',''tc'') = ''t''{{sup|''n''}} ''f''(''a'',''b'',''c'')}} ( {{Mvar|n}}は任意の[[定数]]で、{{Mvar|t}}''はすべての正の[[実数]]）''
* 2,3つ目の変数に対する対称性: {{Math|1=''f''(''a'',''b'',''c'') = ''f''(''a'',''c'',''b'')}}

{{Mvar|f}}が[[零函数|零関数]]でない且つ上の二条件を満たすならばそれを'''triangle center function'''と呼ぶ。{{Mvar|a,b,c}}が三角形の各[[辺]]の長さであるならば、[[重心座標]]または[[三線座標]]において表記された点{{Math|''f''(''a'',''b'',''c''): ''f''(''b'',''c'',''a'') :  ''f''(''c'',''a'',''b'')}}を'''三角形の心'''という。この定義によれば、[[傍心]]や[[ブロカール点]]は三角形の中心でない<ref>{{Cite web |title=BICENTRIC PAIRS |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/BicentricPairs.html |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-07-19}}</ref>。

クラーク・キンバーリングは、三角形の心をまとめた''[[Encyclopedia of Triangle Centers]]''を運営している。このウェブサイトには2024年現在、62000個程度 の三角形の心が登録されている。

=== Central line ===
現代の三角形幾何学のもう一つの重要な概念に[[中心線 (幾何学)|Central line]]が挙げられる。Central lineは三角形の心と密接に関わっている。

==== central lineの定義 ====
{{Math|△''ABC''}}において、[[三線座標]]{{Math|(''x'' : ''y'' : ''z'')}}を変数とし、以下の式で表される直線を'''Central line'''という<ref>{{Cite web |author=Kimberling |first=Clark |title=Glossary : Encyclopedia of Triangle Centers |url=http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/glossary.html |access-date=10 January 2022 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20120423103438/http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/glossary.html |archive-date=23 April 2012}}</ref><ref name="Eric">{{MathWorld|title=Central Line|urlname=CentralLine}}</ref>。

: <math>f(a,b,c)x+g(a,b,c)y+h(a,b,c)z=0</math>

ただし{{Math|''f''(''a'',''b'',''c''): ''g''(''b'',''c'',''a'') :  ''h''(''c'',''a'',''b'')}}は三角形の中心である。

==== 幾何的なcentral lineの作図 ====
[[ファイル:Construction_of_central_lines.svg|サムネイル|300x300ピクセル]]

* 点{{Mvar|X}}の[[等角共役点]]を{{Mvar|Y}}とする。
* それぞれ[[チェバ線]]{{Mvar|AY,BY,CY}}と''{{Mvar|BC,CA,AB}}''の交点の成す三角形（[[チェバ線|チェバ三角形]]）を{{Math|△''A'B'C' ''}}とする。
* {{Math|△''ABC''}}と{{Math|△''A'B'C' ''}}の[[配景]]の軸が{{Mvar|Y}}の[[三線極線]]、{{Mvar|X}}の[[中心線 (幾何学)|Central line]]である。

=== 三角形の円錐曲線 ===
[[三角形の円錐曲線]]は三角形に対して定義される平面[[円錐曲線]] である。代表的なものに[[外接円]]と[[内接円]]、[[シュタイナー楕円]]、[[キーペルト双曲線]]がある。他に2点と1辺の組に対して定義される[[アルツト放物線]] 、いくつかの円錐曲線の集合である[[三角形の円錐曲線|ホフスタッター楕円]]や[[三角形の円錐曲線|イフ円錐曲線]]などもある。「Triangle conics」と言う語に正確な定義はされていないが[[MathWorld]]には42個の「Triangle conics」と書かれた項が存在する<ref>{{MathWorld|title=Triangle Conics|urlname=TriangleConics}}</ref>。<gallery class="center" widths="200px" heights="200px">
ファイル:SteinerCircleOfTriangleABC.png|[[シュタイナー楕円|シュタイナー外接楕円]]
ファイル:ArtztParabolas.png|アルツト放物線
ファイル:Kiepert_Hyperbola.svg|[[キーペルト双曲線]]
</gallery>

=== 三角形の三次曲線 ===
[[三次曲線]]は三角形の研究に、主に[[軌跡 (数学)|軌跡]]を調べる場合などに自然に出現する。 例えば、点{{Mvar|P}}を三角形の各辺''{{Mvar|BC,CA,AB}}''で[[鏡映]]した点{{Math|''P''{{sub|''A''}},''P''{{sub|''B''}},''P''{{sub|''C''}}}}について、{{Math|''AP''{{sub|''A''}},''BP''{{sub|''B''}},''CP''{{sub|''C''}}}}が[[共点]]であるとき、{{Mvar|P}}の軌跡は[[ノイベルグ三次曲線]]と呼ばれる三次曲線を成す。三角形の三次曲線はBernard Gibertの運営する[[Catalogue of Triangle Cubics]]に1200個程度登録されており、重心座標による方程式や、軌跡などのさまざまな情報が記載されている。<gallery class="center" widths="200px" heights="200px">
ファイル:NeubergCurve.png|[[ノイベルグ三次曲線]] ([http://bernard-gibert.fr/Exemples/k001.html K001])
ファイル:McCayStelloid.png|[[マッケイ三次曲線]]  ([http://bernard-gibert.fr/Exemples/k003.html K003])
ファイル:TuckerCubic.png|[[タッカー三次曲線]] ([http://bernard-gibert.fr/Exemples/k011.html K011])
</gallery>

== 三角形幾何学とコンピュータ ==
20世紀、21世紀のコンピュータの発展は三角形幾何学の発展に大きな影響を与えた。例えば[[GeoGebra]]や{{仮リンク|Geometer's Sketchpad|en|The Geometer's Sketchpad}}が挙げられる。

[[フィリップ・J・デイヴィス]]はコンピュータが三角形幾何学にどのように影響したか以下のように言及している<ref name="Davis" />。 

Computers have been used to generate new results in triangle geometry.<ref>{{Cite journal|last=Adrian Oldknow|date=July 1995|title=Computer Aided Research into Triangle Geometry|journal=The Mathematical Gazette|volume=79|issue=485|pages=263–274|doi=10.2307/3618298|JSTOR=3618298}}</ref> A survey article published in 2015 gives an account of some of the important new results discovered by the computer programme "Dircoverer".<ref>{{Cite journal|last=Sava Grozdev and Deko Dekov|date=November 2015|title=A Survey of Mathematics Discovered by Computers|url=http://www.journal-1.eu/2015/01/Grozdev-Dekov-A-Survey-pp.3-20.pdf|journal=International Journal of Computer Discovered Mathematics|pages=3–20|accessdate=12 January 2022}}</ref> The following sample of theorems gives a flavor of the new results discovered by Discoverer.

* ''Theorem 6.1''  Let P and Q are points, neither lying on a sideline of triangle ABC. If P and Q are isogonal conjugates with respect to ABC, then the Ceva product of their complements lies on the Kiepert hyperbola.
* ''Theorem 9.1.'' The [[イフ合同心|Yff center of congruence]] is the internal center of similitude of the incircle and the circumcircle with respect to the pedal triangle of the incenter.
* The [[レスターの定理|Lester circle]] is the circle which passes through the circumcenter, the nine-point center and the outer and inner Fermat points. A generalised Lester circle is a circle which passes through at least four triangle centers. Discoverer has discovered several generalized Lester circles.

Sava Grozdev、[[奥村博 (数学者)|奥村博]]、Deko Dekovなどはユークリッド幾何学に特化した百科事典の運営を行っている<ref>{{Cite web |author=Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov |title=Computer Discovered Encyclopedia of Euclidean Geometry |url=http://www.ddekov.eu/e2/index.htm |website=Computer Discovered Encyclopedia of Euclidean Geometry |publisher=Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov |access-date=12 January 2022}}</ref>。

== 関連項目 ==
* [[新数学]]

== 出典 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Cite journal|last=John Mackay|date=1896|title=Symmedians of a Triangle and their Concomitant Circles|url=https://www.cambridge.org/core/services/aop-cambridge-core/content/view/323CD668423E3D558C600F91D26A7816/S0013091500031758a.pdf/symmedians-of-a-triangle-and-their-concomitant-circles.pdf|journal=Proceedings of the Edinburgh Math. Soc.|volume=XIV|pages=37–103|accessdate=7 January 2022}}
* {{Cite book |last=William Gallatly |title=The Modern Geometry of the Triangle |date=1910 |publisher=Francis Hodgson |location=London |url=https://archive.org/details/cu31924001522782 |access-date=4 January 2022}}
* {{Cite book |last=Ross Honsberger |title=Episodes in Nineteenth and Twentienth Century Euclidean Geometry |date=1995 |publisher=Mathematical Association of America}}
* {{Cite book |last=Roger A Johnson |title=Advanced Euclidean Geometry |date=31 August 2007 |publisher=Dover Publications Inc. |isbn=978-0486462370}}
* {{Cite book |last=H S M Coexter |title=Geometry Revisited |date=5 September 1996 |publisher=Mathematical Association of America |isbn=0883856190}}
* {{Cite book |last=Altshiller-Court, Nathan |title=College geometry; an introduction to the modern geometry of the triangle and the circle |date=1952 |publisher=Barnes & Noble |location=New York |url=https://archive.org/details/collegegeometryi00alts/page/n3/mode/2up |access-date=10 January 2022}}
* {{Cite journal|last=Kimberling, C|date=1998|title=Triangle Centers and Central Triangles|journal=Congr. Numer.|pages=1–295}}
* {{Cite book |last=Paul Yiu |title=Introduction to the Geometry of the Triangle |date=December 2012 |publisher=Department of Mathematics Florida Atlantic University |url=http://math.fau.edu/Yiu/YIUIntroductionToTriangleGeometry121226.pdf |access-date=5 January 2022}}
* {{Cite book |last=Scott, Charlotte Angas |title=An introductory account of certain modern ideas and methods in plane analytical geometry |date=1894 |publisher=Macmillan and Co |location=London |url=https://archive.org/details/anintroductorya04scotgoog/page/n6/mode/2up |access-date=10 January 2022}}

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