逆べき乗法のソースを表示

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'''逆べき乗法'''（逆冪乗法、ぎゃくべきじょうほう）もしくは'''逆反復'''（'''法'''）とは、ある<math>n \times n</math>の行列<math>\mathbf{A}</math>が正則行列であるときに、行列<math>\mathbf{A}</math>の[[固有値]]のうち、絶対値最小のものを求める手法である。

具体的には、適当な初期ベクトル<math>\mathbf{y}^{(0)}</math>から始めて、逐次

:<math>\mathbf{y}^{(k)} = \mathbf{A}^{-1} \mathbf{y}^{(k-1)}</math>

を計算することで、<math>\mathbf{y}^{(k)}</math>が<math>\mathbf{A}</math>の絶対値最小の固有値<math>\lambda_n</math>に属する[[固有ベクトル]]に収束していくことを利用し、

:<math>\lim_{k \to \infty}\dfrac{\mathbf{y}^{(k){\rm T}}\mathbf{y}^{(k)}}{\mathbf{y}^{(k){\rm T}}\mathbf{y}^{(k-1)}} = \frac{1}{\lambda_n}</math>

により絶対値最小の固有値を得る。

　絶対値最大の固有値を求める手法としては[[べき乗法]]が有名である。逆べき乗法は行列<math>\mathbf{A}^{-1}</math>に対してべき乗法を適用しているため、収束の証明はべき乗法と同様である。

==参考文献==
* {{Cite book|和書|author1=伊理正夫|authorlink1=伊理正夫|author2=藤野和建|title=数値計算の常識|publisher=[[共立出版]]}}

==関連項目==
*[[固有値問題]]
*[[べき乗法]]
{{linear algebra}}
{{DEFAULTSORT:きやくへきしようほう}}
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