逆ガンマ分布のソースを表示

{{Expand English|date=2022年11月}}
{{確率分布
|名前 = 逆ガンマ分布
|型 = 密度
|画像/確率関数 = [[Image:Inv gamma pdf.svg|325px]]|画像/分布関数 = [[Image:Inv gamma cdf.svg|325px]]|母数 = <math>\alpha>0</math> {{ill|形状母数|en|Shape parameter}}<br /><math>\beta >0</math> {{ill|尺度母数|en|Scale parameter}}
|台 = <math>(0, \infty)</math>
|確率関数 = <math>\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma (\alpha)} \frac{e^{-\beta/x}}{x^{\alpha+1}}</math>
|分布関数 = <math>\frac{\Gamma(\alpha, \beta/x)}{\Gamma(\alpha)}</math>
|期待値 = <math>\frac{\beta}{\alpha-1}</math> for <math>\alpha>1</math>
|中央値 = <math>\frac{\beta}{\Gamma^{-1}(\alpha, \Gamma(\alpha)/2)}</math>
|最頻値 = <math>\frac{\beta}{\alpha+1}</math>
|分散 = <math>\frac{\beta^2}{(\alpha-2)(\alpha-1)^2}</math> for <math>\alpha>2</math>
|歪度 = <math>\frac{4\sqrt{\alpha-2}}{\alpha-3}</math> for <math>\alpha>3</math>
|尖度=<math>\frac{6(5\alpha-11)}{(\alpha-4)(\alpha-3)}</math> for <math>\alpha>4</math>
|エントロピー = <math>\alpha + \ln (\beta \Gamma(\alpha)) - (1+\alpha)\psi(\alpha)</math>, <math>\psi</math> は[[ディガンマ関数]]
|モーメント母関数 = なし
|特性関数 = <math>\frac{2 (-i \beta x)^{\alpha/2} K_{\alpha}(2\sqrt{-ibx})}{\Gamma(\alpha)}</math>, <math>K</math> は第2種変形[[ベッセル関数]]
}}

'''逆ガンマ分布'''（ぎゃくガンマぶんぷ、{{lang-en|inverse gamma distribution}}）は[[連続確率分布]]の一種で、その母数は2つである。[[ガンマ分布]]に従う確率変数の逆数は逆ガンマ分布に従う。

== 定義と性質 ==
逆ガンマ関数の[[確率密度関数]]は{{ill|形状母数|en|Shape parameter}} <math>\alpha>0</math>、{{ill|尺度母数|en|Scale parameter}} <math>\beta>0</math>で、[[関数の台|台]] <math>(0, \infty)</math> の上で

:<math>f(x; \alpha, \beta) = \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma (\alpha)} \frac{e^{-\beta/x}}{x^{\alpha+1}}</math>

と定義される<ref>{{Cite web|和書|title=InverseGammaDistribution—Wolfram言語ドキュメント |url=https://reference.wolfram.com/language/ref/InverseGammaDistribution.html.ja |website=reference.wolfram.com |access-date=2022-11-29}}</ref>。ここで <math>\Gamma</math> は[[ガンマ関数]]である。尺度母数について

:<math>f(x; \alpha, \beta) = \frac{1}{\beta} f(x/\beta; \alpha, 1)</math>

である。逆ガンマ分布の[[確率分布#%E7%B4%AF%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%B8%83%E9%96%A2%E6%95%B0|累積分布関数]]は次のように表される。

:<math>F(x; \alpha, \beta) = \frac{\Gamma(\alpha, \beta/x)}{\Gamma(\alpha)}</math>

ここで分子の <math>\Gamma</math> は[[不完全ガンマ関数]]である。

=== モーメント ===
<math>\alpha>n</math> の場合、<math>n</math> 次の[[モーメント (確率論)|モーメント]]は

:<math>E[X^n] = \beta^{n} \frac{\Gamma(\alpha - n)}{\Gamma(\alpha)} = \frac{\beta^{n}}{(\alpha - n) \dotsb (\alpha - 1)}</math>

である<ref>{{cite web| |url=https://www.johndcook.com/inverse_gamma.pdf |title=Inverse Gamma Distribution|author=John D. Cook|date=2008-10-03|access-date=2022-11-29}}</ref>。
[[期待値]]と[[分散 (確率論)|分散]]はそれぞれ
:<math>\begin{align}
E[X] &= \frac{\beta}{\alpha-1} & (\alpha > 1), \\
V[X] &= \frac{\beta^2}{(\alpha-2)(\alpha-1)^2} & (\alpha > 2)
\end{align}</math>

である。

== 他の分布との関係 ==

* <math>\mathsf{InvGamma}(\alpha, 1/2)</math> は <math>\mathsf{InvChi2}(2\alpha)</math>（{{ill|逆カイ二乗分布|en|Inverse-chi-squared distribution}}）
* <math>\mathsf{InvGamma}(1/2, \beta)</math> は <math>\mathsf{Levy}(0, 2\beta)</math>（[[レヴィ分布]]）
* <math>X \sim \mathsf{Gamma}(\alpha, \theta)</math>（[[ガンマ分布]]、<math>\theta</math> はガンマ分布にとっての尺度母数）ならば <math>1/X \sim \mathsf{InvGamma}(\alpha, 1/\theta)</math>
* 注意：<math>X \sim \mathsf{Gamma}(\alpha, \beta)</math>（[[ガンマ分布]]、<math>\beta</math> はガンマ分布にとっての{{ill|rate parameter|en|Scale parameter#Rate parameter}}）ならば <math>1/X \sim \mathsf{InvGamma}(\alpha, \beta)</math>
* <math>X \sim \mathsf{InvGamma}(1, \beta)</math> ならば <math>1/X \sim \mathsf{Exp}(\beta)</math>（[[指数分布]]）

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==

* Hoff, P. (2009). "A first course in bayesian statistical methods". Springer.
* {{cite journal|last=Witkovsky|first=V.|year=2001|title=Computing the Distribution of a Linear Combination of Inverted Gamma Variables|journal=Kybernetika|volume=37|issue=1|pages=79–90|zbl=1263.62022|mr=1825758}}

== 関連項目 ==

* [[ガンマ分布]]

{{確率分布の一覧}}

[[Category:確率分布]]
[[Category:数学に関する記事]]
{{DEFAULTSORT:きやくかんまふんふ}}