逆温度のソースを表示

{{出典の明記| date = 2024年7月}}
{{物理量
| 名称 = 
| 英語 = thermodynamic beta, inverse temperature
| 画像 =
| 記号 =''&beta;''
| 次元 =[[長さ|L]] {{sup-|2}} [[質量|M]] {{sup-|1}} [[時間|T]] {{sup|2}}
| 階 =
| SI =毎[[ジュール]] (J{{sup-|1}})
| CGS =毎[[エルグ]] (erg{{sup-|1}})
| MTS =
| FPS =
| MKSG =
| CGSG =
| FPSG =
| プランク =
| 原子 =
}}
'''逆温度'''（ぎゃくおんど、{{lang-en|inverse temperature}}） は、[[統計力学]]において定義される物理量。[[統計集団]]を用いて[[平衡状態]]を記述する際、パラメーターとして現れる。逆温度''β''は[[絶対温度]]''T''と[[ボルツマン定数]]''k''<SUB>B</SUB>を用いて次のように定義される<ref>田崎 p.112</ref>。

{{Indent|<math>\beta = \frac{1}{k_{\rm B} T}</math>}}

== 統計力学における定義 ==
統計力学では、逆温度''β''は接触した二つの[[系 (自然科学)|系]]の平衡状態を考えることで定義される。

熱的に接触した二つの系1と2を考え、それぞれのエネルギーを''E''<sub>1</sub>、''E''<sub>2</sub>とする。''E''<sub>1</sub>と''E''<sub>2</sub>の和を一定であるとして''E''とおく。それぞれの系の[[状態数]]をΩ<sub>1</sub>、Ω<sub>2</sub>とすると、状態数Ω<sub>i</sub>はエネルギー ''E''<sub>i</sub> を含む関数であるので、二つの結合した系の状態数は次のように表せる。

{{Indent|<math>\Omega (E_1 + E_2)= \Omega_1 (E_1) \Omega_2 (E_2) = \Omega_1 (E_1) \Omega_2 (E-E_1) \,</math>}}

ここで、平衡状態に達した系の状態数は{{仮リンク|停留値|en|stationary point}}をとると仮定すると、平衡状態において上式の両辺を''E''<sub>1</sub>で微分して、

{{Indent|<math>
\frac{\partial}{\partial E_1} \Omega (E_1 + E_2) = \Omega_2 (E_2)  \frac{\partial}{\partial E_1} \Omega_1 (E_1) + \Omega_1 (E_1) \frac{\partial}{\partial E_2} \Omega_2 (E_2) \cdot \frac{\partial E_2}{\partial E_1} = 0
</math>}}

となる。一方、''E''<sub>1</sub> + ''E''<sub>2</sub> = ''E''（''E''は定数）であるので、 

{{Indent|<math>\frac{\partial E_2}{\partial E_1} = -1</math>}}

となり、これを用いると、

{{Indent|<math>\Omega_2 (E_2)  \frac{\partial}{\partial E_1} \Omega_1 (E_1) - \Omega_1 (E_1) \frac{\partial}{\partial E_2} \Omega_2 (E_2) = 0</math>}}

すなわち、

{{Indent|<math>
\frac{\partial}{\partial E_1} \ln \Omega_1 (E_1) = \frac{\partial}{\partial E_2} \ln \Omega_2 (E_2)</math>}}

となる。この関係式より''β''を次のように定義する。

{{Indent|<math>\beta = \frac{\partial}{\partial E}\ln \Omega(E)</math>}}

== 熱力学との関係 ==
上の項で統計力学的に定義した''β''を、熱力学の関係式と比較することで、逆温度''β''と絶対温度''T''の関係式が求まる。

[[エントロピー]]の定義式

{{Indent|<math>S = k_{\rm B} \ln \Omega \,</math>}}

より、ln''Ω''を''β''の定義式へ代入すると、

{{Indent|<math>\beta = \frac{1}{k_{\rm B}} \frac{\partial S}{\partial E}</math>}}

となる。これを熱力学の公式

{{Indent|<math>\frac{\partial S}{\partial E} = \frac{1}{T}</math>}}

と比較すると、''β''と''T''の関係式が次のように求まる。

{{Indent|<math>\beta = \frac{1}{k_{\rm B} T}</math>}}

== 脚注 ==
<references />
== 参考文献 ==

* {{Cite book|和書 |title=統計力学Ⅰ |year=2008 |publisher=培風館 |isbn=978-4-563-02437-6 |author=田崎晴明 |ref=tazaki}}

==関連記事==
*[[熱力学温度]]
*[[統計集団]]

{{DEFAULTSORT:きやくおんと}}
[[Category:統計力学]]
[[Category:物理量]]