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'''連接環'''（れんせつかん、{{lang-en-short|coherent ring}}、{{lang-fr-short|anneau cohérent}}）の概念は[[ネーター環]]の概念よりも弱い。それにも関わらず連接環は注目すべき性質を有する。それは次のように要約できる。そのような環上の有限表示加群は加群の圏の充満部分[[アーベル圏]]をなす（一方ネーター環上これは有限型加群に対して同じことが正しい）。位相空間上の環の[[連接層]]の概念も定義される。

== 連接環 ==

=== 定義 ===

* <math>R</math> を環とし <math>M</math> を <math>R</math>-[[環上の加群|加群]]とする。次が[[完全列]]になるような自由加群 <math>L_{1}</math> と <math>L_{0}</math> が存在する

::<math>L_{1}\longrightarrow L_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0</math>

これは <math>M</math> の'''表示''' (présentation) と呼ばれる。加群 <math>M</math> は <math>L_{0}</math> が有限型であれば''有限型'' (type fini) であり、<math>L_{0}</math> と <math>L_{1}</math> が両方とも有限型であれば'''有限表示''' (présentation finie) と呼ばれる<ref name="Bourbaki AX"> {{harvsp|Bourbaki|2007 }}</ref>。

* <math>R</math>-加群 <math>M</math> は有限型でありかつ <math>M</math> のすべての有限型部分加群が有限表示であるときに'''連接''' (cohérent) と呼ばれる。

* 環 <math>R</math> は有限型の <math>R</math> のすべての左イデアルが有限表示であるときに'''左連接''' (cohérent à gauche) と呼ばれる。右連接環も同様に定義され、'''連接環''' (anneau cohérent) は右連接である左連接環である<ref name="Cohn1985">{{harvsp|Cohn|1985 }}, p. 554</ref>。

* 例えば可換ネーター環に係数を持つ無限個の不定元を持つ多項式環は連接であるが、ネーターではない<ref>{{harvsp|Bourbaki|2006 }}, §I.2, exercice 12(f)</ref>。

=== 性質 ===

<math>R</math> を環とする。

* <math>M</math> を左 <math>R</math>-加群とする。以下の条件は同値である<ref>{{harvsp|Bourlès|Marinescu|2011 }}, Lem. 508</ref>：
# <math>M</math> は左連接である。
# <math>M</math> は有限型でありすべての整数 <math>n\geq 0</math> に対して左 <math>R</math>-加群のすべての準同型 <math>R^{n}\longrightarrow M</math> の核は有限型である。
# <math>M</math> は有限型でありすべての有限型左 <math>R</math>-加群 <math>N</math> に対してすべての準同型 <math>f:N\rightarrow M</math> に対して <math>\ker (f)</math> は有限型である。

* さらに、以下の条件は同値である<ref name="Cohn1985"/>{{,,}}<ref>他の同値条件は {{harvsp|Bourbaki|2006 }}, §I.2, exercice 12 を参照せよ</ref>：

# <math>R</math> は左連接である。
# 有限型左自由 <math>R</math>-加群のすべての有限型部分加群は有限表示である。
# すべての有限表示左 <math>R</math>-加群は連接である。
# すべての整数 <math>n</math> に対して左 <math>R</math>-加群のすべての準同型 <math>R^{n}\longrightarrow R</math> の核は有限型である。

* 左ネーター環は左連接である。

=== 連接シルヴェスター環 ===

* <math>R</math> を{{仮リンク|オール環|fr|anneau d'Ore}}とする。この環が右連接{{仮リンク|シルヴェスター環|fr|anneau de Sylvester}}であるのは、<math>R</math> に元を持つすべての有限縦ベクトル（あるいは行列）の右零化域が自由であるとき、かつそのときに限る<ref>{{harvsp|Dicks|Sontag|1978 }}, Thm. 10</ref>。

* 例えば、右[[ベズー環]]は右連接シルヴェスター環である。

* 可換シルヴェスター環 <math>R</math> が連接であるのは <math>R</math> が[[GCD環]]であるとき、かつそのときに限る<ref>{{harvsp|Dicks|1983 }}, Lem. 4.1</ref>。

* <math>D</math> を複素平面の単連結開集合とする。<math>D</math> 内の有界解析関数の[[ハーディ空間|ハーディ]]環 <math>H^{\infty }\left(D\right)</math> はベズー環でない連接シルヴェスター環である<ref>{{harvsp|Quadrat|2003 }}, Cor. 3.31</ref>。

== グロタンディーク圏における一般化 ==

=== グロタンディーク圏 ===

次のようなアーベル圏 <math>\mathfrak{C}</math> を'''グロタンディーク圏''' (catégorie de Grothendieck) と呼ぶ。任意の余積があり、生成元の族 <math>\left( G_{i}\right) _{i\in I}</math> を持ち、次の条件 AB5) を満たす<ref>{{harvsp|Grothendieck|1957 }}, §1.5</ref>： <math>A</math> が <math>\mathfrak{C}</math> の対象であり <math>A'</math> が  <math>A</math> の部分対象でありそして <math>\left( A_{i}\right) _{i\in I}</math> が <math>A</math> の部分対象の増大フィルター族であれば、

::<math>\bigcup\nolimits_{i\in I}\left( A^{\prime }\cap A_{i}\right) =A^{\prime
}\cap \left( \bigcup\nolimits_{i\in I}A_{i}\right).</math>

=== 例 ===

* 環 <math>R</math> 上の左加群の圏 <math>_{R}Mod</math> は生成元として加群 <math>_{R}R</math> を持つグロタンディーク圏である。

* <math>X</math> を位相空間、<math>\mathcal{O}_{X}</math> を <math>X</math> 上の環の層、<math>_{\mathcal{O}_{X}}\mathbf{Mod}</math> を <math>X</math> 上の左 <math>\mathcal{O}_{X}</math>-加群の{{仮リンク|（加群の）層|label=層|fr|faisceau (de modules)}}の圏とする。この圏 <math>_{\mathcal{O}_{X}}\mathbf{Mod}</math> はグロタンディーク圏である<ref>{{harvsp|Grothendieck|1957 }}, Prop. 3.1.1</ref>。<math>_{\mathcal{O}_{X}}\mathbf{Mod}</math> における生成元の族は faisceaux induits <math>\left. \mathcal{O}_{X}\right\vert U</math> からなる、ただし <math>U</math> は <math>X</math> の開集合全部の集合を表記する<ref>{{harvsp|Grothendieck|Dieudonné|1960 }}, (3.1.5)</ref>。

=== 連接対象 ===
 
* <math>\mathfrak{C}</math> をグロタンディーク圏とする。<math>\mathfrak{C}</math> の対象 <math>A</math> は次のとき'''有限型''' (type fini) と呼ばれる。<math>\bigcup\nolimits_{i\in I}A_{i}=A</math> なる <math>A</math> の増大フィルターのすべての族 <math>\left( A_{i}\right) _{i\in I}</math> に対して、<math>A_{i}=A</math> となる添え字 <math>j</math> が存在する。<math>\mathfrak{C}</math> の対象 <math>A</math> は次のとき'''連接''' (cohérent) と呼ばれる。有限型でありかつすべての射 <math>f:B\rightarrow A</math>、ただし <math>B</math> は有限型、に対して <math>\ker (f)</math> は有限型である<ref>{{harvsp|Roos|1969 }}, Sect. 2, Def. 1</ref>。

* <math>\mathfrak{C}</math> を生成元として対象 <math>G</math> を持つグロタンディーク圏とし

::<math>0\longrightarrow A^{\prime }\longrightarrow A\longrightarrow A^{\prime
\prime }\longrightarrow 0</math>

を <math>\mathfrak{C}</math> における短完全列とする。この列の 2 つの対象が連接であれば、3 つ目の対象も連接である。さらに、対象 <math>A</math> が有限型であるのは、完全列

::  <math>\coprod\nolimits_{i\in J}G_{i}\longrightarrow A\longrightarrow 0</math>

ただし <math>J\subset I</math> は添え字の有限集合、が存在するとき、かつそのときに限り、<math>A</math> が連接であるのはそれが有限型でありすべての射 <math>\coprod\nolimits_{i\in J}G_{i}\longrightarrow A</math>、ただし <math>J\subset I</math> は有限、に対して完全列

:: <math>\coprod\nolimits_{i\in K}G_{i}\longrightarrow \coprod\nolimits_{i\in J}G_{i}\longrightarrow A\longrightarrow 0</math>

ただし <math>K\subset I</math> は有限、が存在するとき、かつそのときに限る。

すべての連接対象からなる <math>\mathfrak{C}</math> の充満部分圏は、<math>Coh\mathfrak{C}</math> と表記されるが、アーベルであり、入射 <math>Coh\mathfrak{C}\longrightarrow\mathfrak{C}</math> は完全である<ref>{{harvsp|Oberst|1970 }}, Chap. I</ref>。

=== 例 ===

* 圏 <math>_{R}Mod</math> において有限型（resp. 連接）対象全体は有限型（resp. 連接）加群全体である。

* 圏 <math>_{\mathcal{O}_{X}}\mathbf{Mod}</math> において、有限型（resp. 連接）対象全体は有限型（resp. 連接）<math>\mathcal{O}_{X}</math>-加群全体である。

=== 環の連接層 ===
* 環 <math>\mathcal{O}_{X}</math> の層は次のとき左'''連接''' (cohérent) と呼ばれる。すべての開集合 <math>U\subset X</math> と左 <math>\left. \mathcal{O}_{X}\right\vert U</math>-加群のすべての準同型写像 <math>\left. \mathcal{O}_{X}^{n}\right\vert U\longrightarrow \left. \mathcal{O}
_{X}\right\vert U</math> に対して、この準同型の核は有限型である<ref>{{harvsp|Grothendieck|Dieudonné|1960 }}, §5</ref>。

* すると以下の結果が成り立つ<ref>{{harvsp|Serre|1955 }}, §2, Prop.7</ref>： <math>\mathcal{O}_{X}</math> を左連接環の層とする。左 <math>\mathcal{O}_{X}</math>-加群の層 <math>\mathcal{F}</math> が連接であるためには、次が必要かつ十分である。局所的に、それは左 <math>\mathcal{O}_{X}</math>-加群の準同型 <math>\mathcal{O}_{X}^{q}\longrightarrow \mathcal{O}_{X}^{p}</math> の余核に同型である、すなわち、<math>X</math> のすべての空でない開集合 <math>U</math> に対して完全列

:: <math>\left. \mathcal{O}_{X}^{q(U)}\right\vert U\longrightarrow \left. \mathcal{O}
_{X}^{p(U)}\right\vert U\rightarrow \left. \mathcal{F}\right\vert
U\longrightarrow 0</math>

:が存在する。

== 脚注と参考文献 ==
=== 脚注 ===
{{Reflist|2}}
=== 参考文献 ===

* {{Ouvrage|prénom=N.|nom=Bourbaki|lien auteur1=N. Bourbaki| titre = Algèbre, Chapitre 10: Algèbre homologique|lien titre=Éléments de mathématique|éditeur = Springer | année = 2007|  isbn=3540344926| pages=216}}
* {{Ouvrage|prénom1= N.| nom1=Bourbaki|lien auteur=Nicolas Bourbaki| titre = Algèbre commutative, chapitres 1 à 4|lien titre=Éléments de mathématique|éditeur = Springer | année = 2006|  isbn=354033937X| pages=364}}
* {{Ouvrage |langue=en|  prénom1 = Henri | nom1 = Bourlès| prénom2 =  Bogdan| nom2 = Marinescu| titre =Linear Time-Varying Systems: Algebraic-Analytic Approach|éditeur = [[シュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア|Springer]]| année = 2011|  isbn=978-3-64219726-0|pages=638|url=https://books.google.fr/books?id=Lr6Owr6TiSgC}}
* {{Ouvrage|langue=en | prénom1= Paul Moritz| nom1=Cohn|lien auteur=Paul Cohn|titre = Free Rings and their Relations (2nd ed.) | éditeur = Academic Press | année = 1985|  isbn=0121791521| pages=595}}
* {{articlefr|langue=en |prénom1=Warren| nom1=Dicks|titre=Free algebras over Bézout domains are Sylvester domains|périodique=Journal of Pure and Applied Algebra|volume=27|passage=15-28|année=1983}}
* {{articlefr|langue=en |prénom1=Warren| nom1=Dicks|prénom2=Eduardo D.| nom2=Sontag|titre=Sylvester Domains|périodique=Journal of Pure and Applied Algebra|volume=13|passage=243-275|année=1978|url=http://www.math.rutgers.edu/~sontag/FTP_DIR/wdicks.pdf}}
* {{articlefr |prénom1=Alexandre| nom1=Grothendieck|titre=Sur quelques points d'algèbre homologique I|périodique=Tohoku Mathematical Journal|volume=9|passage=119-184|année=1957|url=http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.tmj/1178244839}}
* {{articlefr |prénom1=Alexandre| nom1=Grothendieck|titre=Sur quelques points d'algèbre homologique II|périodique=Tohoku Mathematical Journal|volume=9|passage=185-221|année=1957|url=http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.tmj/1178244774}}
* {{Articlefr| prénom1= Alexander| nom1=Grothendieck|lien auteur1=Alexandre Grothendieck|prénom2= Jean| nom2=Dieudonné|lien auteur2=Jean Dieudonné|titre = Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas|périodique=Publications Mathématiques de l'IHÉS|passage=5-228|année=1960|url=http://archive.numdam.org/ARCHIVE/PMIHES/PMIHES_1960__4_/PMIHES_1960__4__5_0/PMIHES_1960__4__5_0.pdf}}
* {{Ouvrage |langue=en | prénom1 = John C. | nom1 = McConnell | prénom2 = James C. | nom2 = Robson | titre = Noncommutative Noetherian Rings | éditeur = American Mathematical Society| année = 2001|  isbn=0821821695| pages=636|url=https://books.google.fr/books?id=c3fWk8LoSvgC}}
* {{articlefr |langue=en|prénom1=Ulrich| nom1=Oberst|titre=Duality Theory for Grothendieck Categories and Linearly Compact Rings|périodique=Journal of Algebra|volume=15|numéro=4|passage=473-542|année=1970|url=http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.bams/1183530938}}
* {{articlefr|langue=en |prénom1=Alban| nom1=Quadrat|titre=The fractional representation approach to synthesis problems: an algebraic analysis viewpoint. Part I: (weakly) doubly coprime factorizations|périodique=SIAM J. Control Optim.|volume=42|numéro=1|passage=266-299|année=2003}}
* {{articlefr |langue=en|prénom1=Jan-Erik| nom1=Roos|titre=Locally noetherian categories and generalized strictly linear compact rings. Applications|périodique=Category Theory, Homology Theory and their applications II, Springer Verlag, Lecture Notes in Mathematics Vol. 92|passage=197-277|année=1969|url=http://rd.springer.com/chapter/10.1007/BFb0080772}}
* {{articlefr |prénom1=Jean-Pierre| nom1=Serre|lien auteur1=Jean-Pierre Serre|titre=Faisceaux algébriques cohérents|périodique=Annals of Mathematics|volume=61|numéro=2|passage=197-278|année=1955|url=http://www.mat.uniroma1.it/people/arbarello/FAC.pdf}}

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