連接環

連接環（れんせつかん、テンプレート:Lang-en-short、テンプレート:Lang-fr-short）の概念はネーター環の概念よりも弱い。それにも関わらず連接環は注目すべき性質を有する。それは次のように要約できる。そのような環上の有限表示加群は加群の圏の充満部分アーベル圏をなす（一方ネーター環上これは有限型加群に対して同じことが正しい）。位相空間上の環の連接層の概念も定義される。

連接環

定義

• $R$ を環とし $M$ を $R$-加群とする。次が完全列になるような自由加群 $L_1$ と $L_0$ が存在する

$L_1⟶L_0⟶M⟶0$

これは $M$ の表示 (présentation) と呼ばれる。加群 $M$ は $L_0$ が有限型であれば有限型 (type fini) であり、$L_0$ と $L_1$ が両方とも有限型であれば有限表示 (présentation finie) と呼ばれる。

• $R$-加群 $M$ は有限型でありかつ $M$ のすべての有限型部分加群が有限表示であるときに連接 (cohérent) と呼ばれる。

• 環 $R$ は有限型の $R$ のすべての左イデアルが有限表示であるときに左連接 (cohérent à gauche) と呼ばれる。右連接環も同様に定義され、連接環 (anneau cohérent) は右連接である左連接環である。

• 例えば可換ネーター環に係数を持つ無限個の不定元を持つ多項式環は連接であるが、ネーターではない。

性質

$R$ を環とする。

• $M$ を左 $R$-加群とする。以下の条件は同値である：

1. $M$ は左連接である。
2. $M$ は有限型でありすべての整数 $n\ge 0$ に対して左 $R$-加群のすべての準同型 $R^n⟶M$ の核は有限型である。
3. $M$ は有限型でありすべての有限型左 $R$-加群 $N$ に対してすべての準同型 $f:N\to M$ に対して $\ker (f)$ は有限型である。

• さらに、以下の条件は同値であるテンプレート:,,：

1. $R$ は左連接である。
2. 有限型左自由 $R$-加群のすべての有限型部分加群は有限表示である。
3. すべての有限表示左 $R$-加群は連接である。
4. すべての整数 $n$ に対して左 $R$-加群のすべての準同型 $R^n⟶R$ の核は有限型である。

• 左ネーター環は左連接である。

連接シルヴェスター環

• $R$ をテンプレート:仮リンクとする。この環が右連接テンプレート:仮リンクであるのは、$R$ に元を持つすべての有限縦ベクトル（あるいは行列）の右零化域が自由であるとき、かつそのときに限る。

• 例えば、右ベズー環は右連接シルヴェスター環である。

• 可換シルヴェスター環 $R$ が連接であるのは $R$ がGCD環であるとき、かつそのときに限る。

• $D$ を複素平面の単連結開集合とする。$D$ 内の有界解析関数のハーディ環 $H^{\mathrm{\infty }}\left(D\right)$ はベズー環でない連接シルヴェスター環である。

グロタンディーク圏における一般化

グロタンディーク圏

次のようなアーベル圏 $ℭ$ をグロタンディーク圏 (catégorie de Grothendieck) と呼ぶ。任意の余積があり、生成元の族 ${\left(G_i\right)}_{i\in I}$ を持ち、次の条件 AB5) を満たす： $A$ が $ℭ$ の対象であり $A^{\prime }$ が $A$ の部分対象でありそして ${\left(A_i\right)}_{i\in I}$ が $A$ の部分対象の増大フィルター族であれば、

$\bigcup _{i\in I}(A^{\prime }\cap A_i)=A^{\prime }\cap \left(\bigcup _{i\in I}{A}_i\right).$

例

• 環 $R$ 上の左加群の圏 ${}_{R}Mod$ は生成元として加群 ${}_{R}R$ を持つグロタンディーク圏である。

• $X$ を位相空間、${𝒪}_X$ を $X$ 上の環の層、${}_{{𝒪}_X}𝐌𝐨𝐝$ を $X$ 上の左 ${𝒪}_X$-加群のテンプレート:仮リンクの圏とする。この圏 ${}_{{𝒪}_X}𝐌𝐨𝐝$ はグロタンディーク圏である。${}_{{𝒪}_X}𝐌𝐨𝐝$ における生成元の族は faisceaux induits ${𝒪}_X|U$ からなる、ただし $U$ は $X$ の開集合全部の集合を表記する。

連接対象

• $ℭ$ をグロタンディーク圏とする。$ℭ$ の対象 $A$ は次のとき有限型 (type fini) と呼ばれる。$\bigcup _{i\in I}{A}_i=A$ なる $A$ の増大フィルターのすべての族 ${\left(A_i\right)}_{i\in I}$ に対して、$A_i=A$ となる添え字 $j$ が存在する。$ℭ$ の対象 $A$ は次のとき連接 (cohérent) と呼ばれる。有限型でありかつすべての射 $f:B\to A$、ただし $B$ は有限型、に対して $\ker (f)$ は有限型である。

• $ℭ$ を生成元として対象 $G$ を持つグロタンディーク圏とし

$0⟶A^{\prime }⟶A⟶A^{\prime \prime }⟶0$

を $ℭ$ における短完全列とする。この列の 2 つの対象が連接であれば、3 つ目の対象も連接である。さらに、対象 $A$ が有限型であるのは、完全列

$\coprod _{i\in J}{G}_i⟶A⟶0$

ただし $J\subset I$ は添え字の有限集合、が存在するとき、かつそのときに限り、$A$ が連接であるのはそれが有限型でありすべての射 $\coprod _{i\in J}{G}_i⟶A$、ただし $J\subset I$ は有限、に対して完全列

$\coprod _{i\in K}{G}_i⟶\coprod _{i\in J}{G}_i⟶A⟶0$

ただし $K\subset I$ は有限、が存在するとき、かつそのときに限る。

すべての連接対象からなる $ℭ$ の充満部分圏は、$Cohℭ$ と表記されるが、アーベルであり、入射 $Cohℭ⟶ℭ$ は完全である。

例

• 圏 ${}_{R}Mod$ において有限型（resp. 連接）対象全体は有限型（resp. 連接）加群全体である。

• 圏 ${}_{{𝒪}_X}𝐌𝐨𝐝$ において、有限型（resp. 連接）対象全体は有限型（resp. 連接）${𝒪}_X$-加群全体である。

環の連接層

• 環 ${𝒪}_X$ の層は次のとき左連接 (cohérent) と呼ばれる。すべての開集合 $U\subset X$ と左 ${𝒪}_X|U$-加群のすべての準同型写像 ${𝒪}_X^n|U⟶{𝒪}_X|U$ に対して、この準同型の核は有限型である。

• すると以下の結果が成り立つ： ${𝒪}_X$ を左連接環の層とする。左 ${𝒪}_X$-加群の層 $ℱ$ が連接であるためには、次が必要かつ十分である。局所的に、それは左 ${𝒪}_X$-加群の準同型 ${𝒪}_X^q⟶{𝒪}_X^p$ の余核に同型である、すなわち、$X$ のすべての空でない開集合 $U$ に対して完全列

${𝒪}_X^{q(U)}|U⟶{𝒪}_X^{p(U)}|U\to ℱ|U⟶0$

が存在する。

脚注と参考文献

参考文献

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