連続的埋め込みのソースを表示

[[数学]]において、ある[[ノルム線型空間]]が他のノルム線型空間の'''連続的埋め込み'''（れんぞくてきうめこみ、{{Lang-en-short|continuous embedding}}）であるとは、それらの間の[[包含写像|包含函数]]が[[有界線型汎函数|連続]]であることを言う。ある意味、それらの二つのノルムは、同一の空間上でいずれも定義されないとしても「ほとんど同じ」ものである。[[ソボレフ不等式|ソボレフ埋蔵定理]]の内のいくつかは、連続的埋め込みの定理である。

== 定義 ==
{{mvar|X}} および {{mvar|Y}} を二つのノルム線型空間とし、それらのノルムはそれぞれ {{math|{{norm|&bull;}}{{sub|''X''}}}} および {{math|{{norm|&bull;}}{{sub|''Y''}}}} とする。また {{math|''X'' ⊆ ''Y''}} が成立するものとする。[[包含写像]] {{math|''i'': ''X'' ↪ ''Y''; ''x'' {{mapsto}} ''x''}} が連続、すなわち定数 {{math|''C'' ≥ 0}} が存在して
: <math>\| x \|_{Y} \leq C \| x \|_{X}\quad (\forall x\in X)</math>
が成立するとき、{{mvar|X}} は {{mvar|Y}} に'''連続的に埋め込まれている'''と言う。人によってはこの連続的埋め込みを表すために矢印 &ldquo;{{math|↪}}&rdquo; を使用する。すなわち、&ldquo;{{math|''X'' ↪ ''Y''}}&rdquo; は「''X'' と ''Y'' はいずれもノルム空間で、{{mvar|X}} は {{mvar|Y}} に連続的に埋め込まれている」ということを意味する。これは、[[射 (圏論)|射]]が[[有界線型作用素|連続線型写像]]であるような[[位相線型空間の圏]]の観点に基づく記法である。

== 例 ==

* 連続的埋め込みの有限次元での例として、ユークリッドノルムを備える[[実数直線]] {{math|1=''X'' = '''R'''}} の平面 {{math|1=''Y'' = '''R'''{{sup|2}}}} への次の自然な埋め込み {{math|''i'': '''R''' → '''R'''{{sup|2}}; ''x'' {{mapsto}} (''x'', 0)}} が挙げられる。この場合、すべての実数 {{mvar|X}} に対して {{math|1={{norm|''x''}}{{sub|''X''}} = {{norm|''x''}}{{sub|''Y''}}}} が成り立つ。明らかに、最適な定数 {{mvar|C}} は {{math|1=''C'' = 1}} である。
* 連続的埋め込みの無限次元の例として、次の[[レリッヒ＝コンドラチョフの定理]]が挙げられる： {{math|Ω ⊆ '''R'''{{sup|''n''}}}} を[[開集合|開]]かつ[[有界集合|有界]]な[[リプシッツ領域]]とし、{{math|1 ≤ ''p'' &lt; ''n''}} とし、{{math|1=''p*'' = ''np''/(''n'' &minus; ''p'')}} と置く。このとき、[[ソボレフ空間]] {{math|''W''{{sup|1,''p''}}(Ω; '''R''')}} は [[Lp空間|{{mvar|L{{sup|p}}}}-空間]] {{math|''L{{sup|p*}}''(Ω; '''R''')}} に連続に埋め込まれる。実際、{{math|1 &le; ''q'' &lt; ''p*''}} に対してこの埋め込みは[[コンパクトな埋め込み|コンパクト]]である。最適な定数 {{mvar|C}} は領域 {{math|Ω}} の形状に依存する。
* 無限次元空間に関しては、「不連続的」な埋め込みの例も存在する。例えば、単位区間上で定義される実数値連続函数の空間 {{math|1=''X'' = ''Y'' = ''C''{{sup|0}}({{closed-closed|0, 1}}; '''R''')}} を考える。ただし {{mvar|X}} は {{math|''L''{{sup|1}}}}-ノルム、{{mvar|Y}} は[[上限ノルム]]を備えるものとする。{{math|''n'' ∈ '''N'''}} に対し、次の[[連続 (数学)|連続]]な[[区分線形関数|区分線型函数]] {{mvar|f{{sub|n}}}} を考える。<math display="block">f_{n} (x) = \begin{cases} - n^{2} x + n , & 0 \leq x \leq \tfrac{1}{n}; \\ 0, & \mbox{otherwise.} \end{cases}</math> このとき、すべての {{mvar|n}} に対して {{math|1={{norm|''f{{sub|n}}''}}{{sub|''Y''}} = {{norm|''f{{sub|n}}''}}{{sub|&infin;}} = ''n''}} が成立するが、<math display="block">\| f_{n} \|_{L^{1}} = \int_{0}^{1} | f_{n} (x) | \,dx = \frac1{2}</math> となるから、{{math|{{norm|''f{{sub|n}}''}}{{sub|''Y''}} &le; ''C''{{norm|''f{{sub|n}}''}}{{sub|''X''}}}} を満たす定数 {{mvar|C}} は存在せず、{{mvar|X}} の {{mvar|Y}} への埋め込みは不連続ということになる。

== 関連項目 ==
* [[コンパクトな埋め込み]]

== 参考文献 ==
* {{cite book | author=Renardy, M., & Rogers, R.C. | title=An Introduction to Partial Differential Equations | publisher=Springer-Verlag, Berlin | year=1992 | isbn=3-540-97952-2 }}

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[[Category:数学に関する記事]]