連続的埋め込み

数学において、あるノルム線型空間が他のノルム線型空間の連続的埋め込み（れんぞくてきうめこみ、テンプレート:Lang-en-short）であるとは、それらの間の包含函数が連続であることを言う。ある意味、それらの二つのノルムは、同一の空間上でいずれも定義されないとしても「ほとんど同じ」ものである。ソボレフ埋蔵定理の内のいくつかは、連続的埋め込みの定理である。

定義

テンプレート:Mvar および テンプレート:Mvar を二つのノルム線型空間とし、それらのノルムはそれぞれ テンプレート:Math および テンプレート:Math とする。また テンプレート:Math が成立するものとする。包含写像 テンプレート:Math が連続、すなわち定数 テンプレート:Math が存在して

$\Vert x{\Vert }_Y\le C\Vert x{\Vert }_X(\mathrm{\forall }x\in X)$

が成立するとき、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar に連続的に埋め込まれていると言う。人によってはこの連続的埋め込みを表すために矢印 “テンプレート:Math” を使用する。すなわち、“テンプレート:Math” は「X と Y はいずれもノルム空間で、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar に連続的に埋め込まれている」ということを意味する。これは、射が連続線型写像であるような位相線型空間の圏の観点に基づく記法である。

例

• 連続的埋め込みの有限次元での例として、ユークリッドノルムを備える実数直線 テンプレート:Math の平面 テンプレート:Math への次の自然な埋め込み テンプレート:Math が挙げられる。この場合、すべての実数 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math が成り立つ。明らかに、最適な定数 テンプレート:Mvar は テンプレート:Math である。
• 連続的埋め込みの無限次元の例として、次のレリッヒ＝コンドラチョフの定理が挙げられる： テンプレート:Math を開かつ有界なリプシッツ領域とし、テンプレート:Math とし、テンプレート:Math と置く。このとき、ソボレフ空間 テンプレート:Math は [[Lp空間|テンプレート:Mvar-空間]] テンプレート:Math に連続に埋め込まれる。実際、テンプレート:Math に対してこの埋め込みはコンパクトである。最適な定数 テンプレート:Mvar は領域 テンプレート:Math の形状に依存する。
• 無限次元空間に関しては、「不連続的」な埋め込みの例も存在する。例えば、単位区間上で定義される実数値連続函数の空間 テンプレート:Math を考える。ただし テンプレート:Mvar は テンプレート:Math-ノルム、テンプレート:Mvar は上限ノルムを備えるものとする。テンプレート:Math に対し、次の連続な区分線型函数 テンプレート:Mvar を考える。$$f_n(x)=\{\begin{array}{cc}-n^{2}x+n,& 0\le x\le \frac{1}{n};\\ 0,& \text{otherwise.}\end{array}$$ このとき、すべての テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math が成立するが、$$\Vert f_n{\Vert }_{L^1}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}|f_n(x)|dx=\frac{1}{2}$$ となるから、テンプレート:Math を満たす定数 テンプレート:Mvar は存在せず、テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar への埋め込みは不連続ということになる。

関連項目

• コンパクトな埋め込み

参考文献

• テンプレート:Cite book