連続線型拡張のソースを表示

{{Pathnav|[[数学]]|[[関数解析学]]|frame=1}}[[数学]]の[[関数解析学]]の分野における'''連続線型拡張'''（れんぞくせんけいかくちょう、{{Lang-en-short|continuous linear extension}}）とは、次に述べる手順のことを指す：

[[完備]]な[[ノルム線型空間]] <math>X</math> 上にある[[線型変換]]を定義する時、初めに <math>X</math> 内の[[稠密集合|稠密]]な[[部分集合]]上に線型変換 <math>T</math> を定義し、その後、後述の定理によって、<math>T</math> を全空間へと拡張することが便利となることが、しばしばある。この結果として得られる拡張は[[線型]]かつ[[有界作用素|有界]]（したがって、[[連続 (数学)|連続]]）である。

== 定理 ==
以下のBLT定理が知られている。なお「BLT定理」という名称は有界線型変換（Bounded Linear Transformation）による。

{{math theorem|定理|
<math>T</math>をノルム空間<math>X</math>から完備なノルム線型空間 <math>Y</math> への任意の有界線型作用素とする。このとき<math>X</math> の[[完備|完備化]]<math>\bar{X}</math> から <math>Y</math> へのある有界線型変換 <math>\bar{T}~:~\bar{X}\to Y</math>で
: <math>\bar{T}|_X=T</math>
を満たすものが一意に存在する。また<math>\bar{T}</math> の作用素ノルムは<math>T</math> の[[作用素ノルム]]に等しい。
|note='''BLT定理'''}}

定理の後半のノルムに関する部分は前半から明らかに従う。

== 応用 ==
一例として、[[リーマン積分]]の定義について考える。ある[[閉包 (位相空間論)|閉]][[区間 (数学)|区間]] <math>[a,b]</math> 上の[[階段関数]]は、次の形式で記述される：

<math>f\equiv r_1 \mathit{1}_{[a,x_1)}+r_2 \mathit{1}_{[x_1,x_2)} + \cdots + r_n \mathit{1}_{[x_{n-1},b]}.</math>

ここで <math>r_1, \ldots, r_n</math> は実数であり、<math>a=x_0<x_1<\ldots <x_{n-1}<x_n=b</math> とし、<math>\mathit{1}_S</math> は集合 <math>S</math> の[[指示関数]]を表す。<math>[a,b]</math> 上のすべての階段関数からなる空間に <math>L^\infty</math> ノルム（[[Lp空間]]を参照）を備えたものはノルム線型空間であり、ここではそれを <math>\mathcal{S}</math> と表す。階段関数の積分を、次のように定義する：

<math>\mathsf{I} \left(\sum_{i=1}^n r_i \mathit{1}_{ [x_{i-1},x_i)}\right) = \sum_{i=1}^n r_i (x_i-x_{i-1}).</math> 

このとき、関数としての <math>\mathsf{I}</math> は、<math>\mathcal{S}</math> から <math>\mathbb{R}</math> への有界線型変換である{{Efn|ここで、<math>\mathbb{R}</math> もノルム線型空間であることに注意されたい。実際、<math>\mathbb{R}</math> は[[線型空間|線型空間の公理]]を満たすことから線型空間であり、そのノルムは[[絶対値]]によって定めることが出来る。}}。

<math>L^\infty</math> ノルムについて右側連続であるような、<math>[a,b]</math> 上の[[区分的]]連続かつ有界関数からなる空間を、<math>\mathcal{PC}</math> で表す。上述の空間 <math>\mathcal{S}</math> は、<math>\mathcal{PC}</math> において稠密であるため、BLT定理を応用することが出来る。結果として線型変換 <math>\mathsf{I}</math> は、<math>\mathcal{PC}</math> から <math>\mathbb{R}</math> への有界線型変換 <math>\tilde{\mathsf{I}}</math> へと拡張される。これにより、<math>\mathcal{PC}</math> 内のすべての関数についてリーマン積分を定義することが出来る。すなわち、すべての <math>f\in \mathcal{PC}</math> に対して、そのリーマン積分は

<math>\int_a^b f(x)dx=\tilde{\mathsf{I}}(f)</math>

で定義される。

== ハーン＝バナッハの定理 ==
上述の定理によって、有界線型変換 <math>T:S\rightarrow Y</math> を、「<math>S</math> が <math>X</math> において稠密であるなら」、<math>\bar{S}=X</math> から <math>Y</math> へのある有界線型変換へと拡張することが出来た。<math>S</math> が <math>X</math> において稠密でない場合、[[ハーン＝バナッハの定理]]を使うことで、ある拡張が存在することを示すことが出来る場合もある。しかし、そのような拡張は必ずしも一意ではない。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Notelist}}

== 参考文献 ==
*{{cite book|last=Reed|first=Michael|coauthors=Barry Simon|year=1980|title=Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis|publisher=Academic Press|location=San Diego|isbn=0-12-585050-6}}

{{DEFAULTSORT:れんそくせんけいかくちよう}}
[[Category:関数解析学]]
[[Category:数学に関する記事]]