連続線型拡張

テンプレート:Pathnav数学の関数解析学の分野における連続線型拡張（れんぞくせんけいかくちょう、テンプレート:Lang-en-short）とは、次に述べる手順のことを指す：

完備なノルム線型空間 $X$ 上にある線型変換を定義する時、初めに $X$ 内の稠密な部分集合上に線型変換 $T$ を定義し、その後、後述の定理によって、$T$ を全空間へと拡張することが便利となることが、しばしばある。この結果として得られる拡張は線型かつ有界（したがって、連続）である。

定理

以下のBLT定理が知られている。なお「BLT定理」という名称は有界線型変換（Bounded Linear Transformation）による。

定理の後半のノルムに関する部分は前半から明らかに従う。

応用

一例として、リーマン積分の定義について考える。ある閉区間 $[a,b]$ 上の階段関数は、次の形式で記述される：

$f\equiv r_1{1}_{[a,x_1)}+r_2{1}_{[x_1,x_2)}+\cdots +r_n{1}_{[x_{n-1},b]}.$

ここで $r_1,\dots ,r_n$ は実数であり、$a=x_0<x_1<\dots <x_{n-1}<x_n=b$ とし、$1_S$ は集合 $S$ の指示関数を表す。$[a,b]$ 上のすべての階段関数からなる空間に $L^{\mathrm{\infty }}$ ノルム（Lp空間を参照）を備えたものはノルム線型空間であり、ここではそれを $𝒮$ と表す。階段関数の積分を、次のように定義する：

$𝖨\left(\sum _{i=1}^n{r}_i{1}_{[x_{i-1},x_i)}\right)=\sum _{i=1}^n{r}_i(x_i-x_{i-1}).$

このとき、関数としての $𝖨$ は、$𝒮$ から $ℝ$ への有界線型変換であるテンプレート:Efn。

$L^{\mathrm{\infty }}$ ノルムについて右側連続であるような、$[a,b]$ 上の区分的連続かつ有界関数からなる空間を、$𝒫𝒞$ で表す。上述の空間 $𝒮$ は、$𝒫𝒞$ において稠密であるため、BLT定理を応用することが出来る。結果として線型変換 $𝖨$ は、$𝒫𝒞$ から $ℝ$ への有界線型変換 $\widetilde{𝖨}$ へと拡張される。これにより、$𝒫𝒞$ 内のすべての関数についてリーマン積分を定義することが出来る。すなわち、すべての $f\in 𝒫𝒞$ に対して、そのリーマン積分は

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\widetilde{𝖨}(f)$

で定義される。

ハーン＝バナッハの定理

上述の定理によって、有界線型変換 $T:S\to Y$ を、「$S$ が $X$ において稠密であるなら」、$\overline{S}=X$ から $Y$ へのある有界線型変換へと拡張することが出来た。$S$ が $X$ において稠密でない場合、ハーン＝バナッハの定理を使うことで、ある拡張が存在することを示すことが出来る場合もある。しかし、そのような拡張は必ずしも一意ではない。

参考文献

• テンプレート:Cite book