運動エネルギーのソースを表示

{{出典の明記|date=2023年4月}}
{{古典力学}}
{{読み仮名|'''運動エネルギー'''|うんどうエネルギー|{{Lang-en-short|kinetic energy}}}}は、[[物体]]の[[運動 (物理学)|運動]]に伴う[[エネルギー]]である。物体の[[速度]]を変化させる際に必要な[[仕事 (物理学)|仕事]]である。英語の {{en|kinetic}} は、「運動」を意味する[[ギリシア語]]の {{Polytonic|κίνησις}}（kinesis）に由来する。この用語は1850年頃[[ウィリアム・トムソン]]によって初めて用いられた。

== 質点の運動エネルギー ==
[[ニュートン力学]]において、物体の運動エネルギーは、物体の[[質量]]と[[速さ]]の二乗に比例する。
つまり、[[速度]] '''v''' で運動する質量 m の物体の運動エネルギー K は
{{Indent|
<math>K 
 =\frac{1}{2}mv^2</math>
}}
で与えられる<ref group="注">v は速度 '''v''' の大きさを表す。</ref>。

[[ニュートンの運動方程式]]が
{{Indent|
<math>m\frac{d\boldsymbol{v}}{dt} = \boldsymbol{F}(t)</math>
}}
と表されているとき、この力 '''F''' が時刻 t<sub>0</sub> から t<sub>1</sub> の間に為す仕事 <math>W_{t_0\to t_1} </math> は、
{{Indent|
<math> \begin{align}
W_{t_0\to t_1} &= \int_{t_0}^{t_1} \left( \boldsymbol{F}(t)
 \cdot\frac{d\boldsymbol{x}}{dt} \right) dt \\
 &= \int_{t_0}^{t_1} \left( m\frac{d\boldsymbol{v}}{dt}
 \cdot \boldsymbol{v}(t) \right) dt \\
 &= \int_{t_0}^{t_1} \frac{d}{dt}\left( \frac{1}{2}m
 \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{v} \right) dt \\
 &= \int_{t_0}^{t_1} \frac{dK}{dt}\, dt \\
 &= K(t_1) -K(t_0)
\end{align} </math>
}}
となる。
従って、'''物体の運動エネルギーの変化量は、その物体に加えられた仕事に等しい'''。

特に物体に一定の力 '''''F''''' が加えられ、物体の位置が <math> \boldsymbol{x} </math> から <math>\boldsymbol{x}+\Delta \boldsymbol{x}</math> まで、<math>\Delta \boldsymbol{x}</math> だけ変化したとき、

:<math>\frac{1}{2}mv^2(t_1) - \frac{1}{2}mv^2(t_0)
 = \boldsymbol{F}\cdot\Delta\boldsymbol{x}</math>

という等式が成り立つ。例えば物体が地表付近で[[自由落下]]する場合、[[重力加速度]]は一定と見なせるので、上記の等式が利用できる。
また、力'''''F''''' を物体の質量''m'' と加速度 '''&alpha;''' の積で置き換えれば、等式は物体の質量に依存しない形に書き直される。
:<math>v^2(t_1) - v^2(t_0)
 = 2\boldsymbol{\alpha}\cdot\Delta\boldsymbol{x}.</math>

== 回転運動の運動エネルギー ==
同様に[[回転運動]]をする物体の運動エネルギーは、[[角速度]] ω の2乗と[[慣性モーメント]] ''I'' に比例する。

:<math>K = \frac{1}{2}I \omega^2</math>

== 解析力学における運動エネルギー ==
[[ラグランジュ力学]]の出発点となる[[ラグランジュ力学#定式化|ラグランジアン]] ''L'' は運動エネルギー ''K'' と[[ポテンシャルエネルギー]] ''V'' の差として定義することができる。

:<math>L(q,\dot{q};t)=K(\dot{q})-V(q)</math>

この際、ラグランジアンの変数は[[一般化座標]] <math>q(t)</math> とその[[時間微分]] <math>\dot{q}(t)</math>、及び時刻 <math>t</math> である。
多くの場合、一般化座標として位置 <math>x</math> や 回転角 <math>\theta</math> とするので、運動エネルギーは

:<math>K=\sum_i \frac{1}{2}m_i{v_i}^2+\sum_j \frac{1}{2}I_i{\omega_j}^2</math>

となる。

[[ハミルトン力学]]の出発点となる[[ハミルトン力学#定式化#ハミルトニアン|ハミルトニアン]]''H'' はラグランジアンの[[ルジャンドル変換]]から、

:<math>H(q,p;t)=\sum p\dot{q}-L</math>

として定義される。ハミルトニアンの変数は一般化座標 <math>q(t)</math> と一般化[[運動量]] <math>p(t)</math> である。元のラグランジアンでポテンシャルが <math>\dot{q}(t)</math> に依存せず、運動エネルギーが上の形をしていれば、
:<math>p_i(t)=\frac{\partial L}{\partial v_i}=m_iv_i</math>
:<math>l_j(t)=\frac{\partial L}{\partial \omega_j}=I_j\omega_j</math>
（ l は回転角度 &theta; に共役な[[角運動量]]）となり、運動エネルギーは

:<math>K=\sum_i\frac{1}{2m_i}{p_i}^2+\sum_j\frac{1}{2I_j}{l_j}^2</math>

となる。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
<references group="注"/>
<!--== 出典 ==
<references />-->

== 関連項目 ==
{{Wiktionary|運動エネルギー}}
*[[位置エネルギー]] - 重力などの[[ポテンシャルエネルギー]]によって発生する運動エネルギーが潜在している状態であるともいえる。

{{Physics-stub}}
{{Normdaten}}
{{デフォルトソート:うんとうえねるきい}}
[[Category:力学]]
[[Category:エネルギー]]