運動学的回折理論のソースを表示

{{複数の問題
|出典の明記=2016年11月
|参照方法=2017年6月6日 (火) 07:13 (UTC)
}}
'''運動学的回折理論'''（うんどうがくてきかいせつりろん、{{Lang-en-short|kinematical diffraction theory}}）とは、[[回折]]現象を扱うときに一回[[散乱]]（回折）のみを考慮（[[ボルン近似]]）し、回折による入射光の減少を考慮しない理論のこと。

一方で、[[多重散乱理論|多重散乱]]を考慮した理論のことを[[動力学的回折理論]]という。

散乱確率の低い[[X線回折]]や[[中性子回折]]では運動学的な理論で概ね説明ができる。散乱確率の高い[[電子線回折]]では、動力学的な理論による取り扱いが必要となる。

== 電子の運動学的回折理論 ==
=== 原子による散乱 ===
{{main|散乱理論}}
1つの[[原子]]による[[電子]]の弾性散乱では、相互作用ポテンシャルを {{math|''V''('''r''')}} とすると、散乱波の[[波動関数]]は次のように表される。
:<math>\psi(\mathbf{r})=e^{ikz}+f(\theta,\phi)\frac{e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}}{|\mathbf{r}|}</math>
ここで {{math|''f''(''&theta;'', ''&phi;'')}} は原子による[[散乱振幅]]で、'''[[原子散乱因子]]'''と呼ばれる。たとえば原子による電子散乱では、原子散乱因子は原子ポテンシャルのフーリエ変換である。
:<math>f(\theta,\phi)=-\frac{m}{2\pi\hbar^2}\int V(\mathbf{r}')e^{i\mathbf{K}\cdot\mathbf{r}'}d\mathbf{r}'</math>
ここで {{mathbf|K}} は入射波と散乱波との差を表すベクトルであり、散乱ベクトルと呼ばれる。散乱強度（[[散乱断面積]]）は原子散乱因子を用いて次のように表される。
:<math>I(\theta,\phi)=|f(\theta,\phi)|^2</math>

=== 結晶構造因子 ===
[[結晶]]による電子散乱では、{{math|''V''('''r''')}} を結晶による相互作用ポテンシャルに置き換えればよい。結晶における {{math|''V''('''r''')}} は次のような並進対称性を持つ。
:<math>V(\mathbf{r})=V(\mathbf{r}+n_1\mathbf{a}_1+n_2\mathbf{a}_2+n_3\mathbf{a}_3)</math>
ここで次式で定義される'''結晶構造因子'''を導入する。
:<math>F=-\frac{m}{2\pi\hbar^2}\int_\mathrm{unit\ cell} V(\mathbf{r})e^{i\mathbf{K}\cdot\mathbf{r}}d\mathbf{r}</math>
すると結晶による散乱強度（回折強度）は結晶構造因子の絶対値の2乗に比例することがわかる。
:<math>I_\mathrm{crystal}(\theta,\phi)=|F|^2\prod_{i=1}^3\frac{\sin^2(N_i\mathbf{K}\cdot\mathbf{a}_i/2)}{\sin^2(\mathbf{K}\cdot\mathbf{a}_i/2)}</math>
つまり結晶全体の構造因子は、単位格子内の基本構造の干渉を表す[[結晶構造因子]]と、格子による干渉を表す関数（平行6面体の場合はラウエ関数、回折条件についての情報を含む）との積で表される。

=== 回折条件 ===
回折強度の式に含まれる次の関数を考える。
:<math>\frac{\sin^2(N_i\mathbf{K}\cdot\mathbf{a}_i/2)}{\sin^2(\mathbf{K}\cdot\mathbf{a}_i/2)}</math>
これは {{mvar|N<sub>i</sub>}} が十分に大きければ、{{math|{{Sfrac|'''K'''&sdot;'''a'''<sub>''i''</sub>|2}} {{=}} ''&pi;'' &times; ''n''}}（ただし {{Mvar|n}} は整数）でのみ値を持ち、それ以外は0である[[デルタ関数]]となる。よって回折強度が0でない条件（回折条件）は、次の[[ラウエ条件]]で与えられる。
:<math>\mathbf{K}\cdot\mathbf{a}_i=2\pi\times n</math>
このことは、結晶の[[逆格子ベクトル]] {{math|'''G'''<sub>''hkl''</sub> {{=}} ''h'''''a'''{{SubSup||1|*}} + ''k'''''a'''{{SubSup||2|*}} + ''l'''''a'''{{SubSup||3|*}}}} と散乱ベクトル {{math|'''K''' {{=}} '''k'''<sub>''i''</sub> &minus; '''k'''}} が一致することと同等である{{Sfnp|今野|2003}}。
:<math>\mathbf{G}_{hkl}=\mathbf{K}</math>
このことを逆格子空間で考えると、[[エワルド球]]上に逆格子点が存在していることに対応している。

またこの式の両辺の絶対値をとると[[ブラッグの法則]]が得られる。

== X線の運動学的回折理論 ==
[[電子]]による[[X線]]散乱では、原子散乱因子は電子密度の[[フーリエ変換]]となる。そこからX線での結晶構造因子を導入すると、電子回折と同様の議論ができる。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
{{ページ番号|section=1|date=2017年6月6日 (火) 07:13 (UTC)}}
* {{cite book|和書|author=村田好正|url=http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-13687-6/|title=表面物理学|series=[[朝倉物理学大系]]|date=2003-03-28|publisher=[[朝倉書店]]|id={{全国書誌番号|20393762}}|isbn=978-4-254-13687-6|ncid=BA61617154|oclc=54660768|asin=4254136870}}
* {{cite book|和書|last=今野|first=豊彦|url=http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320034266|title=物質からの回折と結像―透過電子顕微鏡法の基礎|publisher=[[共立出版]]|date=2003-12-25|id={{全国書誌番号|20543772}}|isbn=978-4-320-03426-6|ncid=BA65112477|oclc=54920860|asin=4320034260|ref=harv}}

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{{DEFAULTSORT:うんとうかくてきかいせつりろん}}
[[Category:回折]]