部分対象のソースを表示

[[圏論]]という[[数学]]の分野において，'''部分対象'''（ぶぶんたいしょう，{{lang-en-short|subobject}}）は，大まかに言って，同じ[[圏 (数学)|圏]]の別の対象の中にいる対象である．この概念は，[[集合論]]における[[部分集合]]，[[群論]]における[[部分群]]，{{疑問点範囲|[[位相空間論]]における[[部分位相空間]]|date=2018年11月}}などの概念の一般化である<ref name="Mac Lane">Mac Lane, p. 126</ref>．対象の詳細な構造は圏論では重要でないから，部分対象の定義は，元を使わず，対象が別の対象の中にどのようにいるかを記述する[[射]]に依る．

部分対象の[[双対 (圏論)|双対]]概念は'''商対象'''（しょうたいしょう，{{lang-en-short|quotient object}}）である．これは[[商集合]]，[[商群]]，[[商位相空間]]などの概念を一般化する．

==定義==
詳しくは，{{mvar|A}} をある圏の対象とする．余域を {{mvar|A}} とする2つの[[単射 (圏論)|単射]]

:{{math|''u'': ''S'' → ''A''}}
:{{math|''v'': ''T'' → ''A''}}

が与えられたとき，{{math|''u'' ≤ ''v''}} とは，{{mvar|u}} が {{mvar|v}} {{仮リンク|を通して分解する|en|Mathematical jargon#factor through}}こととする，つまり，ある {{math|''w'': ''S'' → ''T''}} が存在して <math>u = v \circ w</math> とする．次で定義される二項関係 {{math|≡}}:

:{{math|''u'' ≡ ''v''}} ⇔ {{math|''u'' ≤ ''v''}} かつ {{math|''v'' ≤ ''u''}}

は余域を {{mvar|A}} とする単射上の[[同値関係]]であり，これらの単射の対応する同値類は {{mvar|A}} の'''部分対象''' (subobject) である．2つの単射が {{mvar|A}} の同じ部分対象を表すとき，それらの始域は同型である．{{mvar|A}} を余域とする単射の集まりに関係 {{math|≤}} をいれたものは[[前順序]]をなすが，部分対象の定義は {{mvar|A}} の部分対象の集まりが[[半順序]]であることを保証する．（ある対象の部分対象の集まりは実は[[真クラス]]かもしれない；なのでこの議論は少々不正確である．任意の対象の部分対象の集まりが[[集合]]であるとき，圏は ''well-powered'' である．）

商対象という双対概念を得るには，''単射''を''全射''に置き換え射の向きを逆にすればよい．

==例==
圏 {{math|'''Set'''}} において，{{mvar|A}} の部分対象は {{mvar|A}} の部分集合 {{mvar|B}} に対応する，あるいは正確には，像がちょうど {{mvar|B}} であるような {{mvar|B}} に [[等濃|equipotent]] な集合からのすべての写像の集まりである．{{math|'''Set'''}} の集合の部分対象の半順序はちょうどその部分集合束である．類似の結果は {{math|'''Grp'''}} やいくつかの他の圏でも成り立つ．

半順序クラス {{math|'''P'''}} が与えられたとき，{{math|'''P'''}} の元を対象とし，1つの対象（元）が別の対象以下のときに前者から後者にただ1つの射があるような圏を作れる．{{math|'''P'''}} が最大元を持てば，この最大限の部分対象半順序は {{math|'''P'''}} 自身である．理由の1つとしては，そのような圏の全ての射は単射であるからである．

[[終対象]]の部分対象は{{仮リンク|部分終対象|en|subterminal object}}と呼ばれる．

==関連項目==

*{{仮リンク|Subobject classifier|en|Subobject classifier}}
*{{仮リンク|Mereology|en|Mereology}}
*{{仮リンク|Subquotient|en|Subquotient}}

==脚注==
{{reflist}}

==参考文献==
* {{citation | last=Mac Lane | first=Saunders | authorlink=Saunders Mac Lane | title=[[Categories for the Working Mathematician]] | edition=2nd | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] | volume=5 | location=New York, NY | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1998 | isbn=0-387-98403-8 | zbl=0906.18001 }}
* {{cite book | editor1-last=Pedicchio | editor1-first=Maria Cristina | editor2-last=Tholen | editor2-first=Walter | title=Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory | series=Encyclopedia of Mathematics and Its Applications | volume=97 | location=Cambridge | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=2004 | isbn=0-521-83414-7 | zbl=1034.18001 }}

{{DEFAULTSORT:ふふんたいしよう}}
[[Category:対象 (圏論)]]
[[Category:数学に関する記事]]