重力による時間の遅れのソースを表示

{{翻訳直後|1=[[:en:Gravitational_time_dilation|Gravitational time dilation]]|date=2023年10月}}
{{一般相対性理論}}
'''重力による時間の遅れ'''（じゅうりょくによるじかんのおくれ、[[英語]]:Gravitational time dilation）とは[[時間の遅れ]]の一種で、[[質量#重力質量|重力質量]]からそれぞれ異なる距離にある{{仮リンク|観測者 (特殊相対性理論)|label=観測者|en|Observer (special relativity)}}らにより観測された二つの{{仮リンク|事象 (相対論)|label=事象|en|event (relativity)}}間での、実際の経過時間の違いである。[[重力ポテンシャル]]が低ければ低いほど（時計が重力源に近ければ近いほど）時間の経過は遅くなり、重力ポテンシャルが高くなればなるほど（時計が重力源から遠ざかれば遠ざかるほど）時間経過は速くなる。[[アルベルト・アインシュタイン]]が最初にこの効果を[[相対性理論]]に基いて予言し、その後{{仮リンク|一般相対性理論の検証|en|tests of general relativity}}において確かめられた<ref>{{cite book |first= A. |last= Einstein |title= Relativity : the Special and General Theory by Albert Einstein |publisher= [[Project Gutenberg]] |url= https://www.gutenberg.org/ebooks/5001 |date= February 2004 }}</ref>。

これはそれぞれ異なる[[高度]]（すなわち異なる重力ポテンシャル）にある[[原子時計]]が、しばらくするとそれぞれ異なる時間を指すことによって立証されている。このような実験を地球上で行う限りにおいてはその効果は僅かなもので、[[ナノ秒]]単位での差にとどまる。しかし数十億年という地球の年齢を引き合いにするなら、地球の核は地表より2.5年若い、ということができる<ref>{{cite journal |title= The young centre of the Earth |journal= European Journal of Physics |volume= 37 |issue= 3 |date= 2016 |page= 035602 |doi= 10.1088/0143-0807/37/3/035602 |first1= U I |last1= Uggerhøj |first2= R E |last2= Mikkelsen |first3= J |last3= Faye  |arxiv= 1604.05507 |bibcode= 2016EJPh...37c5602U |s2cid= 118454696 }}</ref>。より大きな効果を示すには、地球から大きく離れるか、より強い重力源を必要とする。

重力による時間の遅れは対象物の加速する環境で[[特殊相対性理論]]の結果として1907年にアルベルト・アインシュタインにより初めて記述された<ref>A. Einstein, "Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen", Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik 4, 411–462 (1907); English translation, in "On the relativity principle and the conclusions drawn from it", in "The Collected Papers", v.2, 433–484 (1989); also in H M Schwartz, "Einstein's comprehensive 1907 essay on relativity, part I", American Journal of Physics vol.45,no.6 (1977) pp.512–517; Part II in American Journal of Physics vol.45 no.9 (1977), pp.811–817; Part III in American Journal of Physics vol.45 no.10 (1977), pp.899–902, see [http://hermes.ffn.ub.es/luisnavarro/nuevo_maletin/Einstein_1907_Jahrbuch.pdf parts I, II and III].</ref>。[[一般相対性理論]]では時空の{{仮リンク|計量テンソル (一般相対性理論)|label=計量テンソル|en|metric tensor (general relativity)}}により表されるように異なる位置の[[固有時]]の経過の中での違いであると考えられている。重力による時間の遅れが存在することは1959年に{{仮リンク|ポンド・レブカ実験|en|Pound–Rebka experiment}}により初めて直接確認され、後に{{仮リンク|重力プローブA|en|Gravity Probe A}}などの実験で正確なものとなった。

重力による時間の遅れは{{仮リンク|重力赤方偏移|en|gravitational redshift|redirect=1}}に密接に関わっている<ref name="Cheng 2010 p. 72">{{cite book | last=Cheng | first=T.P. | title=Relativity, Gravitation and Cosmology: A Basic Introduction | publisher=OUP Oxford | series=Oxford Master Series in Physics | year=2010 | isbn=978-0-19-957363-9 | url=https://books.google.com/books?id=Q6p0DgAAQBAJ&pg=PA73 | access-date=2022-11-07 | page=72}}</ref>。（一定の周波数の光を放つ）近い方の物体は引きつけられる物体に向かい、多くは時間は重力による時間の遅れにより遅くなり、（更に「赤方偏移した」）低い周波数は定位置の観測者から観測されるように放たれる光の周波数のように見える。

==定義==
巨大な物体から遠く離れた（または高い重力ポテンシャルにある）[[時計]]は早く進み、巨大な物体に近い（または低い重力ポテンシャルにある）時計は遅く進む。例えば地球の全期間（46億年）を考慮に入れると、恐らく[[エベレスト]]山頂（[[プロミネンス (地誌学)|プロミネンス]]8848m）のように海抜9000メートルの高さで地球静止軌道上にある位置に置かれた時計は海面上の時計より約39時間進む<ref>{{cite book |title=From Atoms to Galaxies: A Conceptual Physics Approach to Scientific Awareness |first1=Sadri |last1=Hassani |publisher=CRC Press |year=2011 |isbn=978-1-4398-0850-4 |page=433 |url=https://books.google.com/books?id=oypZ_a9pqdsC&pg=PA433}} [https://books.google.com/books?id=oypZ_a9pqdsC&pg=PA433 Extract of page 433]</ref><ref>{{cite book |title=How Einstein Created Relativity out of Physics and Astronomy |edition=illustrated |first1=David |last1=Topper |publisher=Springer Science & Business Media |year=2012 |isbn=978-1-4614-4781-8 |page=118 |url=https://books.google.com/books?id=2U6qvi5TlE4C}} [https://books.google.com/books?id=2U6qvi5TlE4C&pg=PA118 Extract of page 118]</ref>。このことはgravitational time dilationが巨大な重力場で加速する[[基準系]]により（または[[等価原理]]により）証明される理由である<ref>[https://books.google.com/books?id=MBjkuQAoyZIC&pg=PA28 John A. Auping, ''Proceedings of the International Conference on Two Cosmological Models''], Plaza y Valdes, {{ISBN|9786074025309}}</ref>。

一般相対性理論によると[[質量#慣性質量|慣性質量]]と[[質量#重力質量|引力質量]]は同じで、（特有の時間の遅れがある{{仮リンク|ボルン座標系|label=定速で回転する基準系|en|Born coordinates}}のような）加速を受ける基準系全てが物理法則においては、同じ強度の重力場と等価である<ref>[http://www.cathodixx.com/pdfs/RELATIVITY.pdf Johan F Prins, ''On Einstein's Non-Simultaneity, Length-Contraction and Time-Dilation'']</ref>。

真っ直ぐな「垂直」線に沿った観測者の一群を考えてみよう。それぞれがこの線に沿って（例えば長く加速する宇宙船や<ref>{{cite book |title=Introduction to Relativity: For Physicists and Astronomers |edition=illustrated |first1=John B. |last1=Kogut |publisher=Academic Press |year=2012 |isbn=978-0-08-092408-3 |page=112 |url=https://books.google.com/books?id=9AKPpSxiN4IC}}</ref><ref>{{cite book |title=What Is Relativity?: An Intuitive Introduction to Einstein's Ideas, and Why They Matter |edition=illustrated |first1=Jeffrey |last1=Bennett |publisher=Columbia University Press |year=2014 |isbn=978-0-231-53703-2 |page=120 |url=https://books.google.com/books?id=OiquAgAAQBAJ}} [https://books.google.com/books?id=OiquAgAAQBAJ&pg=PA120 Extract of page 120]</ref>摩天楼、惑星上の縦坑）向けられる明確な一定の[[重力加速度|g力]]を経験する。<math>g(h)</math>に前述の線に沿った同位物である「高さ」に対するg力を依存させてみよう。<math>h=0</math>の基礎となる観測者に関する方程式は<math>T_d(h)</math>が離れた位置<math>h</math>の'''全体的な'''時間の遅れであり<math>g(h)</math>が「高さ」<math>h</math>に対するg力の依存であり<math>c</math>は[[光速]]であり<math>\exp</math>が[[ネイピア数|e]]による[[冪乗]]を示す
: <math>T_d(h) = \exp\left[\frac{1}{c^2}\int_0^h g(h') dh'\right]</math>
である。

分かり易くするために[[ミンコフスキー空間|平坦な時空間]]の[[リンドラー座標|リンドラーの観測者の一群]]では依存関係は不変の<math>H</math>のある
: <math>g(h) = c^2/(H+h)</math><!-- please, check the sign: I am lazy to investigate whether it would be positive or negative -->
であり、
: <math>T_d(h) = e^{\ln (H+h) - \ln H} = \tfrac{H+h}H</math>
を与える。

一方で<math>g</math>がほぼ一定で<math>gh</math>が<math>c^2</math>より小さい場合一次元の「弱い場」の近似式は<math>T_d = 1 + gh/c^2</math>が使える。

平坦な時空間における回転する参照枠に対する同じ公式の適用は{{仮リンク|エーレンフェストパラドックス|en|Ehrenfest paradox}}を参照してください。

==回転しない領域の外側==
重力作用の時間の遅れを測定するのに使われる共通の方程式は[[シュワルツシルト解]]から引き出され、回転しない巨大な{{仮リンク|円対称|en|spherical symmetry}}の軌道を表している。方程式は
* <math>t_0</math>が巨大な領域（例えば重力場内の深み）に接近する観測者にとっての二つの事象の間の特有の時間である。
* <math>t_f</math>は巨大な軌道からの任意の長距離の観測者にとっての事象の間の同等の時間である（これは遙かに離れた観測者が近接した時計がこの速度で時を刻む一方で巨大な領域からの無限の距離の時計が秒ごとに時を刻む同等の体制である{{仮リンク|シュワルツシルト時空|en|Schwarzschild coordinates}}を使っていることを仮定している）。
* <math>G</math>は[[万有引力定数]]である。
* <math>M</math>は重力場を作る軌道の[[質量]]である。
* <math>r</math>は重力場内の観測者の半径座標である（この座標は軌道の中心からの古典的な距離に類似しているが、実際はシュワルツシルト座標であり、この形式の方程式は<math>r > r_s</math>にとっての本当の解決策がある。）。
* <math>c</math>は[[光速]]である。
* <math>r_s = 2GM/c^2</math>は<math>M</math>の[[シュワルツシルト半径]]である。
* <math>v_e = \sqrt{ \frac{2 G M}{r} }</math>は脱出速度である。
* <math>\beta_e = v_e/c</math>は光速の比として説明される脱出速度である。
:<math>t_0 = t_f \sqrt{1 - \frac{2GM}{rc^2}} = t_f \sqrt{1 - \frac{r_s}{r}} = t_f \sqrt{1 - \frac{v_e^2}{c^2}} = t_f \sqrt{1 - \beta_e^2} < t_f </math>
である。
例として、自転の影響を考慮しない場合、地球の重力井に近接することにより、地球表面の時計は距離のある観測者の時計より1年で0.0219秒ほど遅れる。対して太陽表面の時計は1年で約66.4秒遅れる。

==回転軌道==
シュワルツシルト解では軌道半径が<math>\tfrac{3}{2} r_s</math>（[[光子球]]の半径）より大きければ自由落下する軌道は回転軌道にあるかも知れない。静止する時計の公式は上記の通りであり、下記の公式は回転軌道の時計のための一般相対性理論の時間の遅れを示している<ref>{{cite book |title=Principles of Astrophysics: Using Gravity and Stellar Physics to Explore the Cosmos |edition=illustrated |first1=Keeton |last1=Keeton |publisher=Springer |year=2014 |isbn=978-1-4614-9236-8 |page=208 |url=https://books.google.com/books?id=PoQpBAAAQBAJ}} [https://books.google.com/books?id=PoQpBAAAQBAJ&pg=PA208 Extract of page 208]</ref><ref>{{Cite book |last1=Taylor |first1=Edwin F. |last2=Wheeler |first2=John Archibald |author2-link=John Archibald Wheeler |title=Exploring Black Holes |url=https://archive.org/details/exploringblackho00tayl_147 |url-access=limited |publisher=Addison Wesley Longman |date=2000 |isbn=978-0-201-38423-9 |page=[https://archive.org/details/exploringblackho00tayl_147/page/n48 8]-22}}</ref>。
:<math>t_0 = t_f \sqrt{1 - \frac{3}{2} \! \cdot \! \frac{r_s}{r}}\, .</math>

両方の遅れは下記の図表に示している。

==重力による時間の遅れの重要な特徴==
* [[一般相対性理論]]によると重力による時間の遅れは{{仮リンク|加速度系|en|accelerated reference frame}}の存在を伴う共存である。加えて同様の環境における物理事象は全て[[一般相対性理論]]で使われる[[等価原理]]によると等しく時間の遅れを経験する。
* ある場面の光速はそこにいる観測者によると常に''c''に等しい。それは全ての時空の微少な区域が自身の適切な時間を割り当てられる可能性がありその区域の適切な時間によると光速は常に''c''であるということである。これは与えられた区域が観測者に占有されているかいないかの事例である。[[シャピロ遅延|遅延]]は地球から放たれる光子や太陽近傍の湾曲、金星への旅行、同様の航路に沿った地球への帰還として計測される可能性がある。太陽周辺の有限の距離を移動する光を観測する速度が''c''とは違うことになる一方で、その区域の光子の速度を観測する観測者が''c''であるこの光子の速度を見出すことになるので、ここでは光速の安定が侵害されることはない。
* 観測者が遠隔操作（遠隔操作を区切る離れた場面）で光を探知できれば、最初の観測者が遠方の光と遠方の拡張する観測者の両方が最初の観測者が'''本当に'''（自身の場所で）観測できる他のあらゆる光のように''c''の最初の観測者に来る他の光より遅い時計を持っている時間は巨大な物体に近い方の観測者を大きくする。他の遠方の光が結局最初の観測者を拡張するなら、それも最初の観測者により''c''として計測されることになる。
* 重力による井戸における重力による時間の遅れ<math>T</math>はこの重力による井戸を抜け出すのに必要な速度のための[[時間の遅れ]]に等しい（測定法は<math>g=(dt/T(x))^2-g_{space}</math>の形式のものを与えられる。例えば一定の時間であり、<math>dxdt</math>の期間に「動き」はない。）。これを示すために無限大の井戸に自由落下する物体に[[ネーターの定理]]を応用できる。その際測定法上の時空の一致は量<math>g(v,dt)=v^0/T^2</math>の保存を暗示していて、そこでは<math>v^0</math>は物体の{{仮リンク|4元速度|en|four-velocity}}の構成要素をなす時空である。無限大<math>g(v,dt)=1</math>において、つまり<math>v^0=T^2</math>またはそこでの時間の遅れに適合する座標<math>v^0_{loc}=T</math>においてそれは獲得した速度による時間の遅れが（落下する物体の位置で計測されるように）物体が落下する井戸の重力による時間の遅れに等しい。この議論を更に一般化しながら、（計測法における同じ仮定に基づいて）二地点間の関連する重力による時間の遅れが低いところから高いところに上るのに必要な時間の遅れに等しい。

==実験に基づく確認==
{{see also|{{仮リンク|重力赤方偏移#実験による検証|en|Gravitational redshift#Experimental confirmation}}|{{仮リンク|一般相対論の検証|en|Tests of general relativity}}}}

[[File:Orbit times.svg|thumb|right|upright=1.2|人工衛星の時計は軌道上の速度により遅れるが、地球の重力井からの距離により加速する。]]

重力による時間の遅れは{{仮リンク|ハフェル・キーティング実験|en|Hafele–Keating experiment}}のように実験に基づいて飛行機内の原子時計で計測してきた。機内の時計は地上の時計より僅かに早かった。[[グローバル・ポジショニング・システム|グローバル・ポジショニング・システムの]][[人工衛星]]が正確な時計を必要とする結果は十分重要である<ref name= Wolfson>{{cite book |author= Richard Wolfson |title=Simply Einstein |url=https://archive.org/details/simplyeinsteinre0000wolf/page/216/mode/1up?view=theater |page=216 |isbn=978-0-393-05154-4 |publisher=W W Norton & Co. |year=2003 }}</ref>。

加えて1メートルより小さい高さの違いによる時間の遅れは実験に基づき実験室で証明されている<ref>C. W. Chou, D. B. Hume, T. Rosenband, D. J. Wineland (24 September 2010), "Optical clocks and relativity", ''Science'', 329(5999): 1630–1633; [https://dx.doi.org/10.1126/science.1192720]</ref>。

重力赤方偏移における重力による時間の遅れも{{仮リンク|パウンド・レブカ実験|en|Pound–Rebka experiment}}や[[白色矮星]][[シリウス|シリウスB]]の観測により確認されている。

重力による時間の遅れは火星探査機[[バイキング1号]]とやりとりした時間信号による実験で証明されている<ref>{{cite journal |last1=Shapiro |first1=I. I. |last2=Reasenberg |first2=R. D. |date=30 September 1977 |title=The Viking Relativity Experiment |url=https://agupubs.onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1029/JS082i028p04329 |journal=Journal of Geophysical Research |publisher=AGU |volume=82 |issue=28 |page=4329-4334 |bibcode= 1977JGR....82.4329S|doi=10.1029/JS082i028p04329 |access-date=6 February 2021}}</ref><ref>{{cite book |title=Modern Physics for Scientists and Engineers |edition=3rd, illustrated |first1=Stephen T. |last1=Thornton |first2=Andrew |last2=Rex |publisher=Thomson, Brooks/Cole |year=2006 |isbn=978-0-534-41781-9 |page=552 |url=https://books.google.com/books?id=g74rAAAAYAAJ}}</ref>。

==関連項目==
* [[時間の遅れ|時計仮説]]
* {{仮リンク|重力赤方偏移|en|Gravitational redshift}}
* {{仮リンク|ハフェル・キーティング実験|en|Hafele–Keating experiment}}
* [[時間の遅れ#速度における時間の遅れ|速度における時間の遅れ]]
* [[双子のパラドックス]]
* [[太陽系座標時]]

==参照==
{{reflist|30em}}

==参考文献==
* {{cite book |first1= Øyvind |last1= Grøn |first2= Arne |last2= Næss |date= 2011 |title= Einstein's Theory: A Rigorous Introduction for the Mathematically Untrained |publisher= Springer |url= https://www.springer.com/us/book/9781461407058 |isbn= 9781461407058 }}

{{Time Topics}}
{{Time measurement and standards}}

{{DEFAULTSORT:しゆうりよくによるしかんのおくれ}}
[[Category:相対性理論]]