重力による時間の遅れ

テンプレート:翻訳直後テンプレート:Physics navigation 重力による時間の遅れ（じゅうりょくによるじかんのおくれ、英語:Gravitational time dilation）とは時間の遅れの一種で、重力質量からそれぞれ異なる距離にあるテンプレート:仮リンクらにより観測された二つのテンプレート:仮リンク間での、実際の経過時間の違いである。重力ポテンシャルが低ければ低いほど（時計が重力源に近ければ近いほど）時間の経過は遅くなり、重力ポテンシャルが高くなればなるほど（時計が重力源から遠ざかれば遠ざかるほど）時間経過は速くなる。アルベルト・アインシュタインが最初にこの効果を相対性理論に基いて予言し、その後テンプレート:仮リンクにおいて確かめられた^[1]。

これはそれぞれ異なる高度（すなわち異なる重力ポテンシャル）にある原子時計が、しばらくするとそれぞれ異なる時間を指すことによって立証されている。このような実験を地球上で行う限りにおいてはその効果は僅かなもので、ナノ秒単位での差にとどまる。しかし数十億年という地球の年齢を引き合いにするなら、地球の核は地表より2.5年若い、ということができる^[2]。より大きな効果を示すには、地球から大きく離れるか、より強い重力源を必要とする。

重力による時間の遅れは対象物の加速する環境で特殊相対性理論の結果として1907年にアルベルト・アインシュタインにより初めて記述された^[3]。一般相対性理論では時空のテンプレート:仮リンクにより表されるように異なる位置の固有時の経過の中での違いであると考えられている。重力による時間の遅れが存在することは1959年にテンプレート:仮リンクにより初めて直接確認され、後にテンプレート:仮リンクなどの実験で正確なものとなった。

重力による時間の遅れはテンプレート:仮リンクに密接に関わっている^[4]。（一定の周波数の光を放つ）近い方の物体は引きつけられる物体に向かい、多くは時間は重力による時間の遅れにより遅くなり、（更に「赤方偏移した」）低い周波数は定位置の観測者から観測されるように放たれる光の周波数のように見える。

定義

巨大な物体から遠く離れた（または高い重力ポテンシャルにある）時計は早く進み、巨大な物体に近い（または低い重力ポテンシャルにある）時計は遅く進む。例えば地球の全期間（46億年）を考慮に入れると、恐らくエベレスト山頂（プロミネンス8848m）のように海抜9000メートルの高さで地球静止軌道上にある位置に置かれた時計は海面上の時計より約39時間進む^[5]^[6]。このことはgravitational time dilationが巨大な重力場で加速する基準系により（または等価原理により）証明される理由である^[7]。

一般相対性理論によると慣性質量と引力質量は同じで、（特有の時間の遅れがあるテンプレート:仮リンクのような）加速を受ける基準系全てが物理法則においては、同じ強度の重力場と等価である^[8]。

真っ直ぐな「垂直」線に沿った観測者の一群を考えてみよう。それぞれがこの線に沿って（例えば長く加速する宇宙船や^[9]^[10]摩天楼、惑星上の縦坑）向けられる明確な一定のg力を経験する。 $g (h)$ に前述の線に沿った同位物である「高さ」に対するg力を依存させてみよう。 $h = 0$ の基礎となる観測者に関する方程式は $T_{d} (h)$ が離れた位置 $h$ の全体的な時間の遅れであり $g (h)$ が「高さ」 $h$ に対するg力の依存であり $c$ は光速であり $\exp$ がeによる冪乗を示す

T_{d} (h) = \exp [\frac{1}{c^{2}} \int_{0}^{h} g (h^{'}) d h^{'}]

である。

分かり易くするために平坦な時空間のリンドラーの観測者の一群では依存関係は不変の $H$ のある

g (h) = c^{2} / (H + h)

であり、

T_{d} (h) = e^{\ln (H + h) - \ln H} = \frac{H + h}{H}

を与える。

一方で $g$ がほぼ一定で $g h$ が $c^{2}$ より小さい場合一次元の「弱い場」の近似式は $T_{d} = 1 + g h / c^{2}$ が使える。

平坦な時空間における回転する参照枠に対する同じ公式の適用はテンプレート:仮リンクを参照してください。

回転しない領域の外側

重力作用の時間の遅れを測定するのに使われる共通の方程式はシュワルツシルト解から引き出され、回転しない巨大なテンプレート:仮リンクの軌道を表している。方程式は

$t_{0}$ が巨大な領域（例えば重力場内の深み）に接近する観測者にとっての二つの事象の間の特有の時間である。
$t_{f}$ は巨大な軌道からの任意の長距離の観測者にとっての事象の間の同等の時間である（これは遙かに離れた観測者が近接した時計がこの速度で時を刻む一方で巨大な領域からの無限の距離の時計が秒ごとに時を刻む同等の体制であるテンプレート:仮リンクを使っていることを仮定している）。
$G$ は万有引力定数である。
$M$ は重力場を作る軌道の質量である。
$r$ は重力場内の観測者の半径座標である（この座標は軌道の中心からの古典的な距離に類似しているが、実際はシュワルツシルト座標であり、この形式の方程式は $r > r_{s}$ にとっての本当の解決策がある。）。
$c$ は光速である。
$r_{s} = 2 G M / c^{2}$ は $M$ のシュワルツシルト半径である。
$v_{e} = \sqrt{\frac{2 G M}{r}}$ は脱出速度である。
$β_{e} = v_{e} / c$ は光速の比として説明される脱出速度である。

t_{0} = t_{f} \sqrt{1 - \frac{2 G M}{r c^{2}}} = t_{f} \sqrt{1 - \frac{r_{s}}{r}} = t_{f} \sqrt{1 - \frac{v_{e}^{2}}{c^{2}}} = t_{f} \sqrt{1 - β_{e}^{2}} < t_{f}

である。例として、自転の影響を考慮しない場合、地球の重力井に近接することにより、地球表面の時計は距離のある観測者の時計より1年で0.0219秒ほど遅れる。対して太陽表面の時計は1年で約66.4秒遅れる。

回転軌道

シュワルツシルト解では軌道半径が $\frac{3}{2} r_{s}$ （光子球の半径）より大きければ自由落下する軌道は回転軌道にあるかも知れない。静止する時計の公式は上記の通りであり、下記の公式は回転軌道の時計のための一般相対性理論の時間の遅れを示している^[11]^[12]。

t_{0} = t_{f} \sqrt{1 - \frac{3}{2} \cdot \frac{r_{s}}{r}} .

両方の遅れは下記の図表に示している。