重力インスタントンのソースを表示

'''重力インスタントン'''（じゅうりょく - ）とは、以下の3つの性質を持つ4次元[[リーマン多様体]]のことである。
# [[リッチ平坦]]
# [[自己双対]]（self-dual）な[[リーマン曲率テンソル]]をもつ
# 無限遠で局所的に平坦（asymptotically locally flat）である

（しかし実は、2. ならば 1. が言える。）

あるいは、もっと広い意味で、3. を満たし[[リッチ曲率]]が[[計量]]に比例している（いわゆる[[宇宙定数]]がある）ものを言う。

[[ヤン・ミルズ理論]]のインスタントンとの類似から、そう呼ばれる。ALE（{{en|Asymptotically Locally Euclidean}}）空間とも呼ばれる。

==性質==
（4次元）重力インスタントンは次の3つの言い方ができる。

# リーマンの曲率テンソルが自己双対
# リッチ平坦かつ[[ケーラー多様体]]（= [[カラビ・ヤウ多様体]]）
# [[超ケーラー多様体]]

高次元にいくと、これら3つはすべて異なる条件になる。

==例==
重力インスタントンは3次元[[球面]]の左不変な[[微分形式|1-形式]]を&sigma;<sub>''i''</sub> (''i'' = 1, 2, 3) を用いて書くのが便利であり、それらは[[オイラー角]]を用いて、
:<math>\begin{align}
\sigma_1 &= \sin\psi d\theta-\cos\psi\sin\theta d\phi, \\
\sigma_2 &= \cos\psi d\theta+\sin\psi\sin\theta d\phi, \\
\sigma_3 &= d\psi +\cos\theta d\phi
\end{align}</math>
のように表される。

===ユークリッド化されたターブ・ナット（Euclidean Taub-NUT）計量===
ユークリッド化された{{仮リンク|ターブ・ナット計量|en|Taub–NUT space}}は
:<math>ds^2 = \frac{1}{4}\frac{r+n}{r-n}dr^2+\frac{r-n}{r+n}n^2\sigma_3^2+\frac{1}{4}(r^2-n^2)(\sigma_1^2+\sigma_2^2)</math>
によって与えられる。

===江口・ハンソン（Eguchi-Hanson）計量===
{{仮リンク|江口・ハンソン計量|en|Eguchi–Hanson space}}は
:<math>ds^2 = \left(1-\frac{a}{r^4}\right)^{-1}dr^2+\frac{r^2}{4}\left(1-\frac{a}{r^4}\right)\sigma_3^2+\frac{r^2}{4}(\sigma_1^2+\sigma_2^2)</math>
のように表現される。ここで、座標の範囲は ''r'' &ge; ''a''<sup>1/4</sup> である。

この計量がいたるところ滑らか、つまりregularな計量であるためには、''r'' &rarr; ''a''<sup>1/4</sup>, &theta;= 0, &pi; のところで錐特異点（{{en|conical singularity}}）がないことである。この条件はパラメーター ''a'' がゼロかそうでないかで場合分けされ、
* ''a'' = 0 のとき座標 &psi; の周期が 4&pi;
* ''a'' &ne; 0 のときは座標 &psi; の周期が 2&pi;
とならなければならない。

別の座標系を用いて、
:<math> ds^2 = \frac{1}{V(\mathbf{x})} ( d \psi + \boldsymbol{\omega} \cdot d \mathbf{x})^2 + V(\mathbf{x}) d \mathbf{x} \cdot d \mathbf{x}</math>
と表現されることもある。ここで、
:<math> \nabla V = \pm \nabla \times \boldsymbol{\omega}, 
\quad V = \sum_{i=1}^2 \frac{1}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}_i| }</math>
である。

===ギボンズ・ホーキング（Gibbons-Hawking）計量===

{{仮リンク|ギボンズ・ホーキング計量|en|Gibbons-Hawking metric}}<ref>Gibbons, G. W.; Hawking, S. W., ''Gravitational Multi-instantons''. Phys. Lett. B 78 (1978), no. 4, 430–432; see also ''Classification of gravitational instanton symmetries''. Comm. Math. Phys. 66 (1979), no. 3, 291–310.</ref>は

<math>
ds^2 = \frac{1}{V(\mathbf{x})} ( d \tau + \boldsymbol{\omega} \cdot d \mathbf{x})^2 + V(\mathbf{x}) d \mathbf{x} \cdot d \mathbf{x},
</math>

と定義され、ここに、

<math>
\nabla V = \pm \nabla \times \boldsymbol{\omega}, \quad V = \varepsilon + 2M \sum_{i=1}^{k} \frac{1}{|\mathbf{x} - \mathbf{x}_i | }.
</math>

である。<math>\epsilon = 1</math> は、多重ターブ・ナッツ計量に対応し、<math>\epsilon = 0</math> で <math>k = 1</math> では平坦空間であり、<math>\epsilon = 0</math> で <math>k = 2</math> では、（異なる座標で）江口・ハンソン解である。

==出典==
<references/>

==参考文献==
{{参照方法|section=1|date=2011年3月}}
* Eguchi, Tohru; Hanson, Andrew J., ''Asymptotically flat selfdual solutions to Euclidean gravity''. Phys. Lett. B 74 (1978), no. 3, 249–251; see also ''Self-dual solutions to Euclidean Gravity''. Ann. Physics 120 (1979), no. 1, 82–106 and ''Gravitational instantons''. Gen. Relativity Gravitation 11 (1979), no. 5, 315–320.

{{DEFAULTSORT:しゆうりよくいんすたんとん}}
[[Category:リーマン幾何学]]