重力インスタントン

重力インスタントン（じゅうりょく - ）とは、以下の3つの性質を持つ4次元リーマン多様体のことである。

1. リッチ平坦
2. 自己双対（self-dual）なリーマン曲率テンソルをもつ
3. 無限遠で局所的に平坦（asymptotically locally flat）である

（しかし実は、2. ならば 1. が言える。）

あるいは、もっと広い意味で、3. を満たしリッチ曲率が計量に比例している（いわゆる宇宙定数がある）ものを言う。

ヤン・ミルズ理論のインスタントンとの類似から、そう呼ばれる。ALE（テンプレート:En）空間とも呼ばれる。

性質

（4次元）重力インスタントンは次の3つの言い方ができる。

1. リーマンの曲率テンソルが自己双対
2. リッチ平坦かつケーラー多様体（= カラビ・ヤウ多様体）
3. 超ケーラー多様体

高次元にいくと、これら3つはすべて異なる条件になる。

例

重力インスタントンは3次元球面の左不変な1-形式をσ_i (i = 1, 2, 3) を用いて書くのが便利であり、それらはオイラー角を用いて、

$\begin{array}{cc}{\sigma }_1& =\sin \psi d\theta -\cos \psi \sin \theta d\varphi ,\\ {\sigma }_2& =\cos \psi d\theta +\sin \psi \sin \theta d\varphi ,\\ {\sigma }_3& =d\psi +\cos \theta d\varphi \end{array}$

のように表される。

ユークリッド化されたターブ・ナット（Euclidean Taub-NUT）計量

ユークリッド化されたテンプレート:仮リンクは

$d{s}^2=\frac{1}{4}\frac{r+n}{r-n}d{r}^2+\frac{r-n}{r+n}{n}^2{\sigma }_3^2+\frac{1}{4}(r^2-n^2)({\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2)$

によって与えられる。

江口・ハンソン（Eguchi-Hanson）計量

テンプレート:仮リンクは

$d{s}^2={(1-\frac{a}{r^4})}^{-1}d{r}^2+\frac{r^2}{4}(1-\frac{a}{r^4}){\sigma }_3^2+\frac{r^2}{4}({\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2)$

のように表現される。ここで、座標の範囲は r ≥ a^1/4 である。

この計量がいたるところ滑らか、つまりregularな計量であるためには、r → a^1/4, θ= 0, π のところで錐特異点（テンプレート:En）がないことである。この条件はパラメーター a がゼロかそうでないかで場合分けされ、

• a = 0 のとき座標 ψ の周期が 4π
• a ≠ 0 のときは座標 ψ の周期が 2π

とならなければならない。

別の座標系を用いて、

$d{s}^2=\frac{1}{V(𝐱)}(d\psi +\mathit{\omega }\cdot d𝐱{)}^2+V(𝐱)d𝐱\cdot d𝐱$

と表現されることもある。ここで、

$\mathrm{\nabla }V=\pm \mathrm{\nabla }\times \mathit{\omega },V=\sum _{i=1}^2\frac{1}{|𝐱-{𝐱}_i|}$

である。

ギボンズ・ホーキング（Gibbons-Hawking）計量

テンプレート:仮リンクは

$d{s}^2=\frac{1}{V(𝐱)}(d\tau +\mathit{\omega }\cdot d𝐱{)}^2+V(𝐱)d𝐱\cdot d𝐱,$

と定義され、ここに、

$\mathrm{\nabla }V=\pm \mathrm{\nabla }\times \mathit{\omega },V=\epsilon +2M\sum _{i=1}^k\frac{1}{|𝐱-{𝐱}_i|}.$

である。$ϵ=1$ は、多重ターブ・ナッツ計量に対応し、$ϵ=0$ で $k=1$ では平坦空間であり、$ϵ=0$ で $k=2$ では、（異なる座標で）江口・ハンソン解である。

参考文献

• Eguchi, Tohru; Hanson, Andrew J., Asymptotically flat selfdual solutions to Euclidean gravity. Phys. Lett. B 74 (1978), no. 3, 249–251; see also Self-dual solutions to Euclidean Gravity. Ann. Physics 120 (1979), no. 1, 82–106 and Gravitational instantons. Gen. Relativity Gravitation 11 (1979), no. 5, 315–320.