重心の一覧のソースを表示

'''重心の一覧'''（じゅうしんのいちらん）を記述する。

[[幾何学]]における[[重心]]とは、図形内における1次の[[モーメント (数学)|モーメント]]の総和が0になる点である。これは、[[力学]]において均一な密度を持つ物体の重心と一致する。

== 一般的な重心の位置 ==
* 図形が[[点対称]]の場合、重心は対称の中心と一致する。
* 図形が[[線対称]]の場合、重心は対称軸上にある。複数の対称軸を持つ場合、重心はそれらの交点となる。
* 2つの図形をつないだ図形の重心は、元の2つの図の重心を通る直線上にある。

== 平面図形の重心 ==
{| class="wikitable" 
|- 
! 形 !! 図 !! <math>\bar x</math> !! <math>\bar y</math> !! 面積
|-
|'''[[直角三角形]]'''
| align="center" | [[Image:Triangle_centroid_2.svg]]
| align="center"|<math>\frac{-b}{3}</math>
| align="center"|<math>\frac{h}{3}</math>
| align="center"|<math>\frac{bh}{2}</math>
|-
|'''四分円'''
| align="center"| [[Image:Quarter_circle_centroid.svg]]
| align="center"|<math>\frac{4r}{3\pi}</math>
| align="center"|<math>\frac{4r}{3\pi}</math>
| align="center"|<math>\frac{\pi r^2}{4}</math>
|-
|'''[[半円]]'''
| <!--align="center" | [[Image:Semicircle_centroid.svg]]--> 半径 <math>r</math> を持ち原点を中心とする円の、<math>\,\!x</math>軸より上の領域
| align="center"|<math>\,\!0</math>
| align="center"|<math>\frac{4r}{3\pi}</math>
| align="center"|<math>\frac{\pi r^2}{2}</math>
|-
|'''[[楕円]]の4分の1'''
| <!--align="center" | [[Image:Elliptical_quarter.svg]]--> 楕円 <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math> のうち、第1象限にある領域
| align="center"|<math>\frac{4a}{3\pi}</math>
| align="center"|<math>\frac{4b}{3\pi}</math>
| align="center"|<math>\frac{\pi a b}{4}</math>
|-
|'''楕円の半分'''
| align="center"|[[Image:Elliptical_half.svg]]
| align="center"|<math>\,\!0</math>
| align="center"|<math>\frac{4b}{3\pi}</math>
| align="center"|<math>\frac{\pi a b}{2}</math>
|-
|'''[[放物線]]の半分に囲まれた領域'''
| 放物線<math>y = \frac{h}{b^2} x^2 </math> と <math>\,\!y</math>軸、直線<math>\,\!y = h</math> で囲まれた領域
| align="center"|<math>\frac{3b}{8}</math>
| align="center"|<math>\frac{3h}{5}</math>
| align="center"|<math>\frac{2bh}{3}</math>
|-
|'''放物線'''
| 放物線<math>\,\!y = \frac{h}{b^2} x^2 </math> と 直線<math>\,\!y = h</math> で囲まれた領域
| align="center"|<math>\,\!0</math>
| align="center"|<math>\frac{3h}{5}</math>
| align="center"|<math>\frac{4bh}{3}</math>
|-
|'''放物線の下部'''
| 放物線<math>\,\!y = \frac{h}{b^2} x^2 </math> と <math>\,\!x</math>軸、直線<math>\,\!x = b</math> で囲まれた領域
| align="center"|<math>\frac{3b}{4}</math>
| align="center"|<math>\frac{3h}{10}</math>
| align="center"|<math>\frac{bh}{3}</math>
|-
|'''曲線の下部'''
| 曲線<math>y = \frac{h}{b^n} x^n</math> と <math>\,\!x</math>軸、直線<math>\,\!x = b</math> で囲まれた領域
| align="center"|<math>\frac{n + 1}{n + 2} b</math>
| align="center"|<math>\frac{n + 1}{4n + 2} h</math>
| align="center"|<math>\frac{bh}{n + 1}</math>
|-
|'''[[扇形]]'''
| （[[極座標]]表記で）<math>\,\!\theta = -\alpha</math> から <math>\,\!\theta = \alpha</math> の範囲内の 弧<math>\,\!r = \rho</math> と 弧の両端と原点を結ぶ直線で囲まれた範囲
| align="center"|<math>\frac{2\rho\sin(\alpha)}{3\alpha}</math>
| align="center"|<math>\,\!0</math>
| align="center"|<math>\,\!\alpha \rho^2</math>
|-
|'''[[弓形]]'''
| align="center"| [[Image:Circularsegment_centroid.svg]]
| align="center"|<math>\,\!0</math>
| align="center"|<math>\frac{4R\sin^3{\frac{\theta}{2}}}{3(\theta-\sin{\theta})}</math>
| align="center"|<math>\frac{R^2}{2}(\theta -\sin{\theta})</math>
|-
|'''四分円の弧'''
| <math>\,\!x^2 + y^2 = r^2</math> を満たす点のうち、第1象限にある部分
| align="center"|<math>\frac{2r}{\pi}</math>
| align="center"|<math>\frac{2r}{\pi}</math>
| align="center"|<math>\frac{\pi r}{2}</math>
|-
|'''半円の弧'''
| <math>\,\!x^2 + y^2 = r^2</math> を満たす点のうち <math>\,\!x</math>軸の上にある部分
| align="center"|<math>\,\!0</math>
| align="center"|<math>\frac{2r}{\pi}</math>
| align="center"|<math>\,\!\pi r</math>
|-
|'''[[円弧]]'''
| （極座標表記で） <math>\,\!r = \rho</math> かつ <math>\,\!\theta = -\alpha</math> から <math>\,\!\theta = \alpha</math> の範囲にある部分
| align="center"|<math>\frac{\rho\sin(\alpha)}{\alpha}</math>
| align="center"|<math>\,\!0</math>
| align="center"|<math>\,\!2\alpha \rho</math>
|}

== 立体図形の重心 ==
{{節stub}}

== 外部リンク ==

* http://www.engineering.com/Library/ArticlesPage/tabid/85/articleType/ArticleView/articleId/109/Centroids-of-Common-Shapes.aspx
* http://www.efunda.com/math/areas/IndexArea.cfm

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