重根 (多項式)のソースを表示

'''重根'''（じゅうこん、{{Lang-en-short|multiple root}}）とは、1変数[[多項式]] <math>f(x)</math> の[[零点|根]]のうち[[重複度 (数学)#多項式の根の重複度|重複度]]が2以上のもののことをいう。

== 概要 ==
1 変数[[多項式]] <math>f(x)</math> が、定数 <math>a (\ne 0)</math>, <math>\alpha_1</math>, <math>\alpha_2</math>, …, <math>\alpha_n</math>を用いて
:<math>f(x) = a(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n)</math>
の形に因数分解され、<math>\alpha_1</math>, <math>\alpha_2</math>, …, <math>\alpha_n</math> の中に 2 つ以上同じ値がある場合、その値を <math>f(x)</math> の重根という。

方程式 <math>f(x) = 0</math> の解は一般に
:<math>
\begin{cases} y=f(x) \\ y=0  \end{cases}
</math>
つまり ''xy''-[[直交座標系|座標系]]において <math>y = f(x)</math> と ''x'' 軸との交点の ''x'' 座標である。<math>f(x)</math> が1変数多項式のとき、<math>y = f(x)</math> が <math>x = \alpha</math> で ''x'' 軸に接するなら、<math>\alpha</math>は <math>f(x)</math> の重根となる。

したがって <math>f(x)</math> は <math>x = \alpha</math> における微分も 0 となり、 <math>x = \alpha</math> が <math>f(x)</math> の重根であることと
:<math>f(\alpha) = f'(\alpha) = 0</math>
であることは[[同値]]である。

== 定義 ==
[[可換体|体]] ''K'' 上の多項式 <math>f(x)</math> と ''K'' の元 <math>\alpha</math>に対し、<math>(x-\alpha)^2 \mid f(x)</math> が成立するとき、すなわち 2 以上の[[自然数]] <math>k</math> と多項式 <math>g(x)</math> で
:<math>f(x)=(x-\alpha)^k g(x)</math>
を満たすものが存在するとき、<math>\alpha</math> を <math>f(x)</math> の'''重根'''という。特に <math>g(x)</math> が <math>\alpha</math> を根に持たないならば、<math>k</math> を根 <math>\alpha</math> の'''[[重複度 (数学)|重複度]]'''（ちょうふくど、''multiplicity''）という。

== 判別式 ==
{{main|判別式}}
多項式 <math>f(x)</math> の根を <math>\alpha_1</math>, <math>\alpha_2</math>, …, <math>\alpha_n</math> とし、その全体から作られる最簡交代式（差積）の平方
:<math>D_f := \prod_{1\leq i < j\leq n}(\alpha_i -\alpha_j)^2</math>
を多項式 <math>f(x)</math> あるいは方程式 <math>f(x) = 0</math> の'''判別式'''（はんべつしき、''discriminant''）という。

これは「代数方程式が重根を持つかどうか」 を判別するための式である。すなわち、判別式が <math>0</math> であることとその代数方程式が重根を持つこととが同値となる。このことは判別式を差積に取り替えても変わらない。にもかかわらず差積の平方を判別式とするのは、それが方程式の[[係数]]によって必ず記述できるからである。

これは、
# 差積の平方が根に関する[[対称式]]となること
# [[対称式]]が基本対称式で表すことができること
# 根の基本対称式が方程式の[[係数]]によって記述されること（[[根と係数の関係]]）
によって保証される。

たとえば、[[二次方程式]] <math>ax^2 + bx + c = 0</math>（<math>a \ne 0</math>） の根を <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> とすると、根と係数の関係により
:<math>\alpha + \beta = -\frac{b}{a},</math>
:<math>\alpha\beta = \frac{c}{a}</math>
が成り立ち、判別式すなわち差積の二乗は
:<math>(\alpha - \beta)^2 =
 (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta =
 \left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 4\times\frac{c}{a} =
 \frac{b^2 - 4ac}{a^2}
</math>
となる。<math>a \ne 0</math>より<math>a^2 > 0</math> であるので、実用上は分母を掃った <math>b^2 - 4ac</math> を判別式として用いることが多い。

== 関連項目 ==
* [[零点]]

{{Polynomials}}

{{DEFAULTSORT:しゆうこん}}
[[Category:多項式]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:数学に関する記事]]