重調和方程式のソースを表示

[[数学]]における'''重調和方程式'''（{{lang-en-short|biharmonic equation}}）とは、次のように書かれる 4 階の[[偏微分方程式]]である：
:<math>\nabla^4\varphi=\nabla^2\nabla^2\varphi=\Delta^2\varphi=0.</math>
ここで {{math|&nabla;<sup>4</sup>}} は 4 階の[[偏微分]]作用素、または[[ラプラス作用素]] {{math|&Delta;}} の自乗で、'''重調和作用素''' {{en|(biharmonic operator)}} として知られている。

例えば、3次元[[デカルト座標]]系では重調和方程式は次の形になる。
: <math>
{\partial^4 \varphi\over \partial x^4 } +
{\partial^4 \varphi\over \partial y^4 } +
{\partial^4 \varphi\over \partial z^4 }+ 
2{\partial^4 \varphi\over \partial x^2\partial y^2}+
2{\partial^4 \varphi\over \partial y^2\partial z^2}+
2{\partial^4 \varphi\over \partial x^2\partial z^2} = 0.
</math>

重調和方程式の解は'''重調和関数''' {{en|(biharmonic function)}} と呼ばれる。どんな[[調和関数]]も重調和であるが、逆は真ではない。

重調和方程式は[[連続体力学]]の分野（線型弾性理論における[[応力関数]]や流体力学における[[ナビエ-ストークス方程式#粘性率が一定の非圧縮性流れ|ストークス流れ]]の解など）において現れる。

==2次元空間==
2次元の場合の一般解は
:<math>
x v(x,y) - y u(x,y) + w(x,y)
</math>
ここで <math>u(x,y),v(x,y), w(x,y)</math> は[[調和関数]]で <math>v(x,y)</math> は <math>u(x,y)</math> の調和共役である。

2変数の[[調和関数]]は複素[[解析関数]]と深く関わりを持つが、2変数の重調和関数についても同じことが言える。2変数の重調和関数の一般形は次のように書ける：
:<math>
\operatorname{Im}(\bar{z}f(z) + g(z))
</math>
ここで <math>f(z)</math> と <math>g(z)</math> は[[解析関数]]である。

2次元の[[極座標]]系では、重調和方程式は
:<math>
\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left(r \frac{\partial}{\partial r} \left(\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left(r \frac{\partial \varphi}{\partial r}\right)\right)\right)
 + \frac{2}{r^2} \frac{\partial^4 \varphi}{\partial \theta^2 \partial r^2}
 + \frac{1}{r^4} \frac{\partial^4 \varphi}{\partial \theta^4}
 - \frac{2}{r^3} \frac{\partial^3 \varphi}{\partial \theta^2 \partial r}
 + \frac{4}{r^4} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial \theta^2} = 0
</math>
となる。これは[[変数分離法]]によって解ける。その結果は{{仮リンク|ミッシェル解|en|Michell solution}}と呼ばれる。

==例==
{{mvar|n}} 次元[[ユークリッド空間]]において、
:<math>\nabla^4 \left({1\over r}\right)= {3(15-8n+n^2)\over r^5}</math>
ただし
:<math>r=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}</math>
は、{{math|''n'' {{=}} 3, 5}} のときのみ、重調和方程式となる。

==参考文献==
* {{citation|first=Eric W.|last=Weisstein|title=CRC Concise Encyclopedia of Mathematics|publisher=CRC Press|year=2002|isbn=1-58488-347-2|ref=harv}}.
* {{citation|first=S.I.|last=Hayek|title=Advanced Mathematical Methods in Science and Engineering|publisher=Marcel Dekker|year=2000|isbn=0-8247-0466-5|ref=harv}}.
* {{cite book|first=J. P.|last=Den Hartog|title=Advanced Strength of Materials|publisher=Courier Dover Publications|year=1987|date=July 1st, 1987|isbn=0-486-65407-9|ref=harv}}.

==関連項目==
* [[調和関数]]
* [[ラプラス作用素]]

==外部リンク==
* {{MathWorld | urlname=BiharmonicEquation | title=Biharmonic Equation}}
* {{MathWorld | urlname=BiharmonicOperator | title=Biharmonic Operator}}

{{DEFAULTSORT:しゆうちようわほうていしき}}
[[Category:関数]]
[[Category:微分方程式]]
[[Category:複素解析]]
[[Category:数学に関する記事]]