量子解析学のソースを表示

[[数学]]の分野としての'''量子解析学'''（りょうしかいせきがく、{{lang-en-short|''quantum calculus''}}）は[[函数の極限|極限]]の概念を持たないことを除けば通常の[[微分積分学]]と同じものであり、しばしば「極限の無い微分積分学」(''calculus without limits'') と呼ばれる。量子解析学には二種類のパラメータ {{mvar|q, h}}（{{mvar|q}} は量子 ('''q'''uantum) の頭文字、{{mvar|h}} は[[プランク定数]]にそれぞれ由来する）がそれぞれ入った '''{{mvar|q}}-解析'''と '''{{mvar|h}}-解析'''という二つの形で述べることができる（両者は <math display="block">q = e^{i h} (= e^{2 \pi i \hbar})</math> なる関係で結ばれていると理解するのがよい）。

== 微分法 ==
[[函数の微分]]は {{mvar|q}}-解析および {{mvar|h}}-解析のそれぞれに対して <math display="block">d_q(f(x)) := f(qx) - f(x)</math> および <math display="block">d_h(f(x)) := f(x + h) - f(x)</math> と定義され、同様に[[導函数]]も {{ill2|ジャクソン微分|label={{mvar|q}}-微分|en|q-derivative}} <math display="block">D_q(f(x)) = \frac{d_q(f(x))}{d_q(x)} := \frac{f(qx) - f(x)}{(q - 1)x}</math> および [[差分商|{{mvar|h}}-微分]] <math display="block">D_h(f(x)) := \frac{d_h(f(x))}{d_h(x)} = \frac{f(x + h) - f(x)}{h}</math> が定まる。

; 注: これらの式が {{math|''h'' → 0}} の極限、あるいは同じことだが {{math|''q'' → 1}} の極限で、古典的な微分積分学における通常の微分を与えるものとなることが確認できる。

== 積分法 ==
=== ''q''-積分 ===
函数 {{math|''F''(''x'')}} が {{math|''f''(''x'')}} の {{mvar|q}}-原始函数であるとは、{{math|1=''D{{sub|q}}F''(''x'') = ''f''(''x'')}} を満たすときに言い、<math display="inline">\int f(x)\, d_qx</math> で表す。{{mvar|f}} の {{mvar|q}}-不定積分は{{ill2|ジャクソン積分|en|Jackson integral}}と呼ばれる公式 <math display="block">\int f(x) \,d_qx = (1-q)\sum_{j=0}^\infty xq^j f(xq^j)</math> によって求めることができる。{{math|0 < ''q'' < 1}} のとき、適当な {{math|0 ≤ ''α'' < 1}} に対して {{math|{{abs|''f''(''x'')''x{{exp|α}}''}}}} が半開区間 {{open-closed|0, ''A''}} 上有界となるならば、右辺の和は {{open-closed|0, ''A''}} 上で {{math|''F''(''x'')}} に収束する。

上記の {{mvar|q}}-積分は、無限個の点 {{math|1=''x'' = ''q{{sub|j}}''}} においてそれぞれ {{mvar|q{{sub|j}}}} だけ跳んで増加する[[階段函数]]に関する[[リーマン&ndash;スティルチェス積分]]である。そのような階段函数を {{math|''g{{sub|q}}''(''t'')}} と書けば、{{math|1=''dg{{sub|q}}''(''t'') = ''d{{sub|q}}t''}} となる<ref>[http://www.mat.uc.pt/preprints/ps/p0432.pdf FUNCTIONS q-ORTHOGONAL WITH RESPECT TO THEIR OWN ZEROS], LUIS DANIEL ABREU, Pre-Publicacoes do Departamento de Matematica Universidade de Coimbra, Preprint Number 04–32</ref>。

=== ''h''-積分 ===
函数 {{math|''F''(''x'')}} が {{math|''f''(''x'')}} の {{mvar|h}}-原始函数（{{mvar|h}}-不定積分）であるとは、{{math|1=''D{{sub|h}}F''(''x'') = ''f''(''x'')}} となるときに言い、<math display="inline">\int f(x)\,d_hx</math> で表す。{{mvar|a, b}} を {{mvar|h}} の相異なる倍数とするとき、{{mvar|h}}-定積分 <math display="inline">\int_a^b f(x)\,d_hx</math> は、閉区間 {{closed-closed|''a'', ''b''}} の小区間の幅が {{mvar|h}} であるような[[区間の分割|分割]]に関する {{mvar|f}} の[[リーマン和]]によって定義される。

== 例 ==
古典的な微分積分学において、適当な自然数 {{mvar|n}} を冪指数とする[[冪函数]] {{mvar|x{{exp|n}}}} の導函数は {{math|''n&sdot;x''{{exp|''n''&minus;1}}}} で与えられるのであった。これに対応する {{mvar|q}}-解析および {{mvar|h}}-解析の式は、それぞれ <math display="block">D_q(x^n) = \frac{q^n - 1}{q - 1} x^{n - 1} = [n]_q\ x^{n - 1}</math> および <math display="block">D_h(x^n) = x^{n - 1} + h x^{n - 2} + \cdots + h^{n - 1}</math> で与えられる。ただし、<math display="inline">[n]_q := \frac{q^n - 1}{q - 1}</math> は {{ill2|q-括弧|en|q-bracket|label={{mvar|q}}-数}}である。

したがって、<math display="inline">[n]_q x^{n - 1}</math> が自然数冪の微分法則の {{mvar|q}}-解析版ということになる。この意味で冪函数は {{mvar|q}}-解析においても「よく振る舞う」ということができるが、他方 {{mvar|h}}-解析ではそうでない（冪函数の {{mvar|h}}-解析版としては[[下降階乗冪]] <math display="inline">(x)_n := x(x-1)\cdots(x-n+1)</math> がとられるべきである）。これをさらに推し進めて発展させれば、たとえば[[テイラー展開]]などの概念もほとんどそのままの形で {{mvar|q}}-解析版に持ち込むことができるし、通常考えるような任意の函数の {{mvar|q}}-解析版にさえ到達することができる。例えば、[[正弦函数]]の {{mvar|q}}-解析版を {{mvar|q}}-微分すれば適当な意味で {{mvar|q}}-解析版[[余弦函数]]になるはずである。

== 歴史 ==
{{mvar|h}}-解析はまさに[[和分差分学|差分法]]に他ならず、これは[[ジョージ・ブール]]らによって研究され、[[組合せ論]]や[[流体力学]]など数々の分野でその有効性が確かめられている。{{mvar|q}}-解析は、ある意味では[[レオンハルト・オイラー]]や[[カール・グスタフ・ヤコビ]]にまで遡れるが、近年では交換関係および[[リー代数]]に密接な関係を持つ[[量子力学]]において有効性が見いだされ始めている。

== 関連項目 ==
* [[非可換幾何学]]
* {{ill2|量子微分法|en|Quantum differential calculus}}
* [[時間尺度微分積分学]]
* [[q-類似]]

== 参考文献 ==
{{reflist}}
<!-- this section is for *references*, sources used to write a part of the article or cited in the article to justify a statement. Supplementary reading should go into "further reading" -->
* F. H. Jackson (1908), "On q-functions and a certain difference operator",  ''Trans. Roy. Soc. Edin.'',  '''46''' 253-281. 
* Exton, H. (1983), ''q-Hypergeometric Functions and Applications'', New York:  Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, {{ISBN2|0853124914}},  {{ISBN2|0470274530}}, {{ISBN2|978-0470274538}}
*[[Victor Kac]], [[Pokman Cheung]], Quantum calculus'',  Universitext, Springer-Verlag, 2002. {{ISBN2|0-387-95341-8}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=q-Calculus|title=q-Calculus}}

{{DEFAULTSORT:りようしかいせきかく}}
[[Category:量子力学]]
[[Category:微分法]]
[[Category:数学に関する記事]]