量子解析学

数学の分野としての量子解析学（りょうしかいせきがく、テンプレート:Lang-en-short）は極限の概念を持たないことを除けば通常の微分積分学と同じものであり、しばしば「極限の無い微分積分学」(calculus without limits) と呼ばれる。量子解析学には二種類のパラメータテンプレート:Mvar（テンプレート:Mvar は量子 (quantum) の頭文字、テンプレート:Mvar はプランク定数にそれぞれ由来する）がそれぞれ入った テンプレート:Mvar-解析と テンプレート:Mvar-解析という二つの形で述べることができる（両者は $q = e^{i h} (= e^{2 π i ℏ})$ なる関係で結ばれていると理解するのがよい）。

微分法

函数の微分はテンプレート:Mvar-解析およびテンプレート:Mvar-解析のそれぞれに対して $d_{q} (f (x)) : = f (q x) - f (x)$ および $d_{h} (f (x)) : = f (x + h) - f (x)$ と定義され、同様に導函数もテンプレート:Ill2 $D_{q} (f (x)) = \frac{d_{q} (f (x))}{d_{q} (x)} : = \frac{f (q x) - f (x)}{(q - 1) x}$ および [[差分商|テンプレート:Mvar-微分]] $D_{h} (f (x)) : = \frac{d_{h} (f (x))}{d_{h} (x)} = \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ が定まる。

注: これらの式がテンプレート:Math の極限、あるいは同じことだがテンプレート:Math の極限で、古典的な微分積分学における通常の微分を与えるものとなることが確認できる。

積分法

q-積分

函数テンプレート:Math がテンプレート:Math のテンプレート:Mvar-原始函数であるとは、テンプレート:Math を満たすときに言い、 $\int f (x) d_{q} x$ で表す。テンプレート:Mvar のテンプレート:Mvar-不定積分はテンプレート:Ill2と呼ばれる公式 $\int f (x) d_{q} x = (1 - q) \sum_{j = 0}^{\infty} x q^{j} f (x q^{j})$ によって求めることができる。テンプレート:Math のとき、適当なテンプレート:Math に対してテンプレート:Math が半開区間テンプレート:Open-closed 上有界となるならば、右辺の和はテンプレート:Open-closed 上でテンプレート:Math に収束する。

上記のテンプレート:Mvar-積分は、無限個の点テンプレート:Math においてそれぞれテンプレート:Mvar だけ跳んで増加する階段函数に関するリーマン–スティルチェス積分である。そのような階段函数をテンプレート:Math と書けば、テンプレート:Math となる^[1]。

h-積分

函数テンプレート:Math がテンプレート:Math のテンプレート:Mvar-原始函数（テンプレート:Mvar-不定積分）であるとは、テンプレート:Math となるときに言い、 $\int f (x) d_{h} x$ で表す。テンプレート:Mvar をテンプレート:Mvar の相異なる倍数とするとき、テンプレート:Mvar-定積分 $\int_{a}^{b} f (x) d_{h} x$ は、閉区間テンプレート:Closed-closed の小区間の幅がテンプレート:Mvar であるような分割に関するテンプレート:Mvar のリーマン和によって定義される。

例

古典的な微分積分学において、適当な自然数テンプレート:Mvar を冪指数とする冪函数テンプレート:Mvar の導函数はテンプレート:Math で与えられるのであった。これに対応するテンプレート:Mvar-解析およびテンプレート:Mvar-解析の式は、それぞれ $D_{q} (x^{n}) = \frac{q^{n} - 1}{q - 1} x^{n - 1} = [n]_{q} x^{n - 1}$ および $D_{h} (x^{n}) = x^{n - 1} + h x^{n - 2} + \dots + h^{n - 1}$ で与えられる。ただし、 $[n]_{q} : = \frac{q^{n} - 1}{q - 1}$ はテンプレート:Ill2である。

したがって、 $[n]_{q} x^{n - 1}$ が自然数冪の微分法則のテンプレート:Mvar-解析版ということになる。この意味で冪函数はテンプレート:Mvar-解析においても「よく振る舞う」ということができるが、他方テンプレート:Mvar-解析ではそうでない（冪函数のテンプレート:Mvar-解析版としては下降階乗冪 $(x)_{n} : = x (x - 1) \dots (x - n + 1)$ がとられるべきである）。これをさらに推し進めて発展させれば、たとえばテイラー展開などの概念もほとんどそのままの形でテンプレート:Mvar-解析版に持ち込むことができるし、通常考えるような任意の函数のテンプレート:Mvar-解析版にさえ到達することができる。例えば、正弦函数のテンプレート:Mvar-解析版をテンプレート:Mvar-微分すれば適当な意味でテンプレート:Mvar-解析版余弦函数になるはずである。

歴史

テンプレート:Mvar-解析はまさに差分法に他ならず、これはジョージ・ブールらによって研究され、組合せ論や流体力学など数々の分野でその有効性が確かめられている。テンプレート:Mvar-解析は、ある意味ではレオンハルト・オイラーやカール・グスタフ・ヤコビにまで遡れるが、近年では交換関係およびリー代数に密接な関係を持つ量子力学において有効性が見いだされ始めている。

参考文献

テンプレート:Reflist

F. H. Jackson (1908), "On q-functions and a certain difference operator", Trans. Roy. Soc. Edin., 46 253-281.
Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, テンプレート:ISBN2, テンプレート:ISBN2, テンプレート:ISBN2
Victor Kac, Pokman Cheung, Quantum calculus, Universitext, Springer-Verlag, 2002. テンプレート:ISBN2

外部リンク

テンプレート:MathWorld

↑ FUNCTIONS q-ORTHOGONAL WITH RESPECT TO THEIR OWN ZEROS, LUIS DANIEL ABREU, Pre-Publicacoes do Departamento de Matematica Universidade de Coimbra, Preprint Number 04–32

[1] FUNCTIONS q-ORTHOGONAL WITH RESPECT TO THEIR OWN ZEROS, LUIS DANIEL ABREU, Pre-Publicacoes do Departamento de Matematica Universidade de Coimbra, Preprint Number 04–32

[1]

量子解析学

目次

微分法

積分法

q-積分

h-積分

例

歴史

関連項目

参考文献

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