鈴木＝トロッター分解のソースを表示

物理学において、'''鈴木＝トロッター分解'''（すずき＝トロッターぶんかい、{{lang-en-short|Suzuki–Trotter decompostion}}）、または'''鈴木＝トロッター公式'''（{{lang-en-short|Suzuki-Trotter formula}}）とは[[演算子 (物理学)|演算子]]の和の[[指数演算子]]を各々の演算子の指数演算子の積に分解する公式<ref name="hatano_suzuki2005">[[#hatano_suzuki2005|N. Hatano & M. Suzuki (2005)]]</ref><ref name="suzuki2000">[[#suzuki2000|鈴木 (2000)]]</ref><ref name="suzuki2017">[[#suzuki2017|鈴木 (2017)]]</ref>。[[量子系]]の[[時間発展]]や[[分配関数]]の計算に応用される。数学者{{仮リンク|ヘイル・トロッター|en|Hale Trotter}}は[[バナッハ空間]]の[[半群]]の研究において、[[トロッター公式]]を与えた<ref name="trotter1959">[[#trotter1959|H.F. Trotter (1959)]]</ref>。日本の物理学者 [[鈴木増雄]]は[[トロッター公式]]を拡張した指数積の高次分解公式を研究し、系統的に求める手法を提案した。

==概要==
量子力学における[[量子状態]]の時間発展や量子統計力学における分配関数の計算では[[ハミルトニアン]]の指数演算子が現れる。これを数値計算するには二つの[[非可換]]な演算子 {{mvar|A,B}} の指数演算子 {{math|e<sup>''x''(''A''+''B'')</sup>}} の計算が必要になる。ここで{{mvar|x}} は実数または複素数のパラメータである。トロッター公式によれば、指数演算子は

:<math> e^{x(A+B)}=e^{xA}e^{xB}+O(x^2) </math>

を満たし、

:<math> e^{x(A+B)}=\lim_{n \to \infty}(e^{\frac{x}{n}A}e^{\frac{x}{n}B})^n </math>

が成り立つ。但し、{{math|''O''( )}}は[[ランダウの記号]]である。
より高次の {{mvar|m}} 次分解公式

:<math>
\begin{align}
e^{x(A+B)}&=e^{t_1xA}e^{t_2xB}e^{t_2xA}e^{t_4xB}+\cdots e^{t_MxB}+O(x^{m+1}) \\
&=: F_m(xA,xB)+O(x^{m+1})
\end{align}
 </math>

が得られると、パラメータ {{mvar|x}} が小さくない場合にも、

:<math>e^{x(A+B)} = \left (F_m \left( \frac{x}{n}A, \frac{x}{n}B \right) \right )^n + O \left( \frac{x^m+1}{n^m} \right)</math>

であり、十分 {{mvar|n}} を大きくとれば、{{math|e<sup>''x''(''A''+''B'')</sup>}} の高精度の近似が得られる。
こうした指数演算子の積の形での近似計算では、量子力学での波動関数の時間発展が満たす[[ユニタリー性 (物理学)|ユニタリ性]]や古典力学での{{Ill|ハミルトン力学系|en|Hamiltonian system}}の時間発展が満たす[[リウヴィルの定理 (物理学)|シンプレクティック性]]が保証されるなどの利点がある。このような指数演算子の分解公式を鈴木＝トロッター分解という<ref name="hatano_suzuki2005"></ref>。
例えば、

:<math>F_2(xA,xB)=e^{\frac{x}{2}A}e^{xB}e^{\frac{x}{2}A} </math>

は2次の公式の１つの例である
また、Ruthの公式として知られている

:<math>F_{6(\text{Ruth})}(xA,xB)=e^{\frac{7x}{27}A}e^{\frac{2x}{3}B}e^{\frac{3x}{4}A}e^{-\frac{2x}{3}B}e^{-\frac{x}{24}A}e^{xB} </math>

は6次の公式の例の１つである。
一般に {{mvar|m}} 次分解公式 {{math|''F<sub>m</sub>''(''xA'', ''xB'')}} を与えるには、条件を満たすパラメータの組 {{math|{{mset|''t<sub>i</sub>''}}<sub>''i''{{=}}1,&hellip;,''M''</sub>}} を定める必要がある。こうしたパラメータの組の求め方には、{{mvar|A}} と {{mvar|B}} の[[交換関係 (量子力学)|交換子積]]のなす[[自由リー代数]]の理論に基づく方法や[[漸化式]]による方法、[[量子解析]]による方法がある<ref name="suzuki2000"></ref><ref name="suzuki2017"></ref>。

==漸化式による構成==
{{math|''Q''<sub>''m''-1</sub>(''x''){{=}}''Q''<sub>''m''-1</sub>(''xA'',''xB'')}} が {{math|e<sup>''x''(''A''+''B'')</sup>}} の {{math|''m''-1}} 次分解公式であるとき、漸化式

:<math>Q_m(x)=Q_{m-1}(p_{m,1}x)Q_{m-1}(p_{m,2}x) \cdots Q_{m-1}(p_{m,s}x)</math>

で定義される {{math|''Q<sub>m</sub>''(''x'')}} が{{math|''m''}} 次分解公式となるために{{math|''p''<sub>''m'',1</sub>,&hellip;''p''<sub>''m'',''s''</sub>}} が条件

:<math>p_{m,1}+p_{m,2} +\cdots +p_{m,s}=1, \quad p_{m,1}^{\, m}+p_{m,2}^{\, m} +\cdots +p_{m,s}^{\, m}=0 </math> 

を満たせば良い。
{{mvar|m}} が奇数 {{math|2''l''-1}} である場合、この条件を満たす{{math|''p''<sub>''m'',1</sub>,&hellip;''p''<sub>''m'',''s''</sub>}} の実数の組が存在するが、{{mvar|m}} が偶数 {{math|2''l''}} である場合、この上記の条件を満たす実数の組は存在しない。
しかしながら、一般に奇数 {{math|2''l''-1}} 次の分解公式 {{math|''S''<sub>2''l''-1</sub>(''x'')}} が対称性の条件

:<math>S_{2l-1}(x)S_{2l-1}(-x)=1</math>

を満たすとき、これは自動的に {{math|2''l''}} 次の分解公式となる。よって、奇数の場合にこの漸化式を適用していくことでパラメータを実数とする高次の公式が導かれる。但し、{{math|''S''<sub>''m''</sub>(''x'')}} が対称性の条件を満たすようにパラメータには {{math|''p''<sub>''m'',''s''+1-''i''</sub> {{=}}''p''<sub>''m'',''i''</sub>}} の条件を課すものとする。

例えば、{{math|''s''{{=}}3}} の場合、奇数 {{mvar|m}} における上記の条件を満たすパラメータの組として、

:<math>p_{m,1}=p_{m,3}=\frac{1}{2-2^{\frac{1}{m}}}:=p_m</math>
:<math>p_{m,2}=-\frac{2^{\frac{1}{m}}}{2-2^{\frac{1}{m}}}=1-2p_m</math>

をとることができる。2次の公式

:<math>S_2(x)=e^{\frac{x}{2}A}e^{xB}e^{\frac{x}{2}A} </math>

は対称性の条件 {{math|''S''<sub>''2''</sub>(''x'')''S''<sub>''2''</sub>(&minus;''x''){{=}}1}} を満すことから

:<math>
\begin{align}
S_3(x) &(=S_4(x)) =S_2(p_3 x) S_2((1-2p_3)x) S_2(p_3 x)\\
&=e^{\frac{p_3}{2}xA} e^{(1-2p_3)xB} e^{\frac{1-p_3}{2}xA} e^{(1-2p_3)xB} e^{\frac{(1-p_3)}{2}xA}
e^{(1-2p_3)xB} e^{\frac{p_3}{2}xA}
\end{align}
 </math>
:<math>p_3=\frac{1}{2-2^{\frac{1}{3}}}</math>

と{{math|''S''<sub>3</sub>(''x'')}} を構成できる。

== 脚注 ==
{{reflist}}

==参考文献==
===論文===
*{{cite journal
|last1=Trotter 
|first1=H. F. 
|title=On the product of semi-groups of operators 
|mr=0108732 
|year=1959 
|journal=Proceedings of the American Mathematical Society
|issn=0002-9939 
|volume=10 
|issue=4 
|pages=545–551 
|doi=10.2307/2033649
|ref=trotter1959}}
*{{cite journal
|first1=Masuo
|last1= Suzuki
|authorlink1=鈴木増雄
|title=Generalized Trotter's formula and systematic approximants of exponential operators and inner derivations with applications to many-body problems
|journal=Comm. Math. Phys.
|volume=51
|year=1976
|pages= 183–190
|doi=10.1007/bf01609348
|ref=suzuki1976}}

===書籍===
* {{Citation
|first1=Naomichi
|last1=Hatano
|authorlink1=羽田野直道
|first2=Masuo
|last2=Suzuki
|authorlink2=鈴木増雄
|chapter=Finding Exponential Product Formulas of Higher Orders
|editor=Arnab Das and Bikas Chakrabarti
|title=Quantum Annealing and Other Optimization Methods
|series=Lecture Notes in Physics (LNP,volume 679)
|year=2005
|pages=37-68
|arxiv=math-ph/0506007
|doi=10.1007/11526216_2
|ref= hatano_suzuki2005}}

*{{Cite book |和書
|title= 統計力学
|author1= 鈴木増雄
|authorlink1=鈴木増雄
|series=現代物理学叢書
|publisher=岩波書店
|year=2000
|isbn=978-4000067515
|ref=suzuki2000}}

*{{Cite book |和書
|title= 経路積分と量子解析
|author1= 鈴木増雄
|authorlink1=鈴木増雄
|series=SGCライブラリ137
|publisher=サイエンス社
|year=2017
|asin=B077697S4D
|ref=suzuki2017}}

==関連項目==
*[[行列指数関数]]
*[[トロッター公式]]
*[[シンプレクティック数値積分法]]

{{DEFAULTSORT:すすきとろつたあふんかい}}

[[Category:量子力学]]
[[Category:作用素論]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]