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[[数学]]の'''鎖状環'''（さじょうかん、{{lang-en-short|catenary ring}}）とは、[[可換環]] {{mvar|R}} であって、その[[素イデアル]]の任意の組 {{math|''p'' ⊂ ''q''}} を結ぶ真に増大する素イデアルの極大鎖
:{{math|1=''p'' = ''p''{{sub|0}} ⊊ ''p''{{sub|1}} ... ⊊ ''p''{{sub|''n''}} = ''q''}}
が全て同じ有限の長さを持つもののことをいう<ref>
{{Citation | title=Stacks Project, Tag 00NI| url=https://stacks.math.columbia.edu/tag/00NI}}
</ref><ref>
EGA IV<sub>1</sub>, 16.1.4.
</ref>。鎖の長さ {{mvar|n}} を幾何学的にいうと、素イデアルに対応する{{仮リンク|代数多様体の次元|en|dimension of an algebraic variety}}は素イデアルが大きくなると減少するので、これは次元の差である。

環が'''強鎖状環'''（きょうさじょうかん、{{lang-en-short|universally catenary ring}}）であるとは、その環上の有限生成な環が全て鎖状環であることをいう。

"catenary" という言葉は鎖（chain）を意味するラテン語の ''catena'' から来ている。

ネーター局所環については次の包含関係が成り立つ。

:'''強鎖状環''' &sup; [[コーエン・マコーレー環]] &sup; [[ゴレンシュタイン環]] &sup; [[完全交叉環]] &sup; [[正則局所環]]

==次元公式==

{{mvar|A}} をネーター整域、{{mvar|B}} を {{mvar|A}} 上有限生成な整域とする。{{mvar|P}} を {{mvar|B}} の素イデアル、{{mvar|p}} をこれと {{mvar|A}} の共通部分とするとき、

:<math>\text{height}(P)\le \text{height}(p)+ \text{tr.deg.}_A(B) - \text{tr.deg.}_{\kappa(p)}(\kappa(P))</math>

が成り立つ<ref>
{{Citation | title=Stacks Project, Tag 02IJ| url=https://stacks.math.columbia.edu/tag/02IJ}}
</ref>。{{mvar|A}} が強鎖状環であれば等式が成り立ち、これを'''強鎖状環の次元公式'''という。

ここで、{{math|κ(''P'')}} は {{mvar|P}} の[[剰余体]]で、{{math|tr.deg.}} は（商体の）超越次数である。

なお、{{mvar|A}} が強鎖状ではなくとも、<math>B=A[x_1,\dots,x_n]</math> であれば、等式はやはり成り立つ<ref>
http://www.math.lsa.umich.edu/~hochster/615W14/615.pdf
</ref>。

==例==

代数幾何学に現れるほとんどすべての[[ネーター環]]は強鎖状である。例えば次の環は全て強鎖状である。

*完備ネーター[[局所環]]

*[[デデキント環]]、体

*[[コーエン・マコーレー環]]、[[正則局所環]]

*強鎖状環を[[環の局所化|局所化]]した環

*強鎖状環上有限生成の環

===鎖状だが強鎖状ではない環===

強鎖状ではないネーター環の例を作るのは簡単ではない。最初の例は[[永田雅宜]]が見つけた、鎖状だが強鎖状ではない2次元ネーター局所整域である<ref>
{{harvs|txt|first=Masayoshi |last=Nagata|authorlink=Masayoshi Nagata|year1=1956|year2=1962|loc2= page 203 example 2}}
</ref>。

永田の例は次のようなものである。{{mvar|k}} を体、{{mvar|S}} を {{mvar|k}} 上の形式的ベキ級数環とし、その不定元を {{mvar|x}} とする。形式的ベキ級数 {{math|1=''z'' = Σ{{sub|''i'' > 0}} ''a''{{sub|''i''}} ''x''{{sup|''i''}}}} を {{mvar|z}} と {{mvar|x}} が代数的独立になるものとする。

{{math|1=''z''{{sub|1}} = ''z''}}, {{math|1=''z''{{sub|''i''+1}} = ''z''{{sub|''i''}} / ''x'' – ''a''{{sub|''i''}}}} と置く。

{{mvar|R}} を {{mvar|x}} と全ての {{math|''z''{{sub|''i''}}}} で生成される（非ネーター）環とする。

{{mvar|m}} をイデアル {{math|(''x'')}}、{{mvar|n}} を {{math|''x'' – 1}} と全ての {{math|''z''{{sub|''i''}}}} で生成されるイデアルとする。どちらも {{mvar|R}} の極大イデアルで、剰余体は {{mvar|k}} と同型である。局所環 {{mvar|R}}<sub>{{mvar|m}}</sub> は1次元の正則局所環で、局所環 {{mvar|R}}<sub>{{mvar|n}}</sub> は2次元のネーター正則局所環である（このことの証明には {{mvar|z}} と {{mvar|x}} が代数的独立であることを使う）。

{{mvar|B}} を {{mvar|m}} か {{mvar|n}} に入らない要素全体についての {{mvar|R}} の局所化とする。{{mvar|B}} は、2つの極大イデアル {{math|''mB''}}（高さ1）と {{math|''nB''}}（高さ2）を持つ2次元のネーター[[半局所環]]になる。

{{mvar|I}} を {{mvar|B}} の[[ジャコブソン根基]]とし、{{math|1=''A'' = ''k'' + ''I''}} と置く。環 {{mvar|A}} は、{{mvar|I}} を極大イデアルとする2次元の局所整域になっていて、2次元の局所整域は全て鎖状なので、鎖状である。環 {{mvar|A}} は、{{mvar|B}} がネーターかつ有限 {{mvar|A}} 加群なので、ネーターである<ref>
上昇定理の帰結。「[[上昇と下降]]」参照。
</ref>。しかし {{mvar|A}} は強鎖状ではない。もし強鎖状であれば、強鎖状環についての次元公式から {{mvar|B}} のイデアル {{math|''mB''}} は {{math|''mB'' &cap; ''A''}} と同じ高さを持つはずであるが、後者のイデアルの高さは {{math|1=dim(''A'') = 2}} と等しいからである。

永田の例は{{仮リンク|準優秀環|en|quasi-excellent ring}}にもなっているので、[[優秀環]]ではない準優秀環の例にもなっている。

== 関連項目 ==

*{{仮リンク|形式的鎖状環|en|Formally catenary ring}}（実は強鎖状環と同じ）

== 脚注 ==

{{reflist|2}}

==参考文献==

*H. Matsumura, ''Commutative algebra'' 1980 {{ISBN2|0-8053-7026-9}}.
*{{citation|mr=0078974|last=Nagata|first= Masayoshi|title=On the chain problem of prime ideals|journal=Nagoya Math. J. |volume=10 |year=1956|pages= 51–64|url=http://projecteuclid.org/euclid.nmj/1118799769}}
* {{Cite book|
| first = Masayoshi 
| last = Nagata
| publisher = R. E. Krieger Pub. Co
| title = Local rings 
| year = 1975
| origyear = 1962
| url = https://archive.org/details/masayoshi-nagata-local-rings-reprint-r.-e.-krieger-pub.-co
| isbn = 0-88275-228-6
}}
*{{EGA|book=4-1| pages = 5–259}}

==外部リンク==

*{{Citation | author1=The Stacks Project Authors | title=The Stacks Project  | url=http://stacks.math.columbia.edu/}}

[[Category:代数幾何学]]
[[Category:可換環論]]
[[Category:数学に関する記事]]
{{デフォルトソート:さしようかん}}