閉凸函数のソースを表示

{{混同|閉写像}}
[[数学]]において、[[函数]] <math>f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} </math> が'''閉'''（へい、{{Lang-en-short|closed}}）であるとは、各 <math> \alpha \in \mathbb{R}</math> に対して[[等位集合|劣位集合]] <math> \{ x \in \operatorname{dom} f \mid f(x) \leq \alpha \} </math> が[[閉集合]]であることをいう。

また同値であるが、<math> \operatorname{epi} f = \{ (x,t) \in \mathbb{R}^{n+1} \mid x \in \operatorname{dom} f,\; f(x) \leq t\} </math> で定義される[[エピグラフ (数学)|エピグラフ]]が閉であるとき、函数 <math> f(x) </math> は閉となる。

この定義はすべての函数に対して適用されるものであるが、ほとんどは[[凸函数]]に対して使われている。[[真凸函数]]が閉であるための[[必要十分条件]]は、それが[[半連続|下半連続]]であることである。真凸函数ではない凸函数に対して、函数の「閉包」とは定義の上で異なる点がある{{cn|date=July 2015}}。

== 性質 ==
* <math>f\colon \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} </math> が[[連続 (数学)|連続]]で、集合 <math>\operatorname{dom} f </math> が閉なら、函数 <math> f</math> も閉である。

* 閉真凸函数 ''f'' は、''h'' ≤ ''f'' を満たすすべての[[アフィン写像|アフィン函数]] ''h''（''f'' のアフィン劣函数と呼ばれる）の集合の各点毎の上限である。

== 参考文献 ==
* {{cite book|last=Boyd|first=Lieven Vandenberghe and Stephen|title=Convex optimization|date=2004|publisher=Cambridge|location=New York|isbn=978-0521833783|pages=639-640|url=https://www.stanford.edu/~boyd/cvxbook/bv_cvxbook.pdf}}
* {{cite book|author=[[:en:Rockafellar, R. Tyrrell|Rockafellar, R. Tyrrell]]|title=Convex Analysis|publisher=Princeton University Press|location=Princeton, NJ|year=1997|origyear=1970|isbn=978-0-691-01586-6}}

{{DEFAULTSORT:へいとつかんすう}}
[[Category:関数]]
[[Category:関数の種類]]
[[Category:数学に関する記事]]

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