閉凸函数

テンプレート:混同 数学において、函数 $f:{ℝ}^n\to ℝ$ が閉（へい、テンプレート:Lang-en-short）であるとは、各 $\alpha \in ℝ$ に対して劣位集合 $\{x\in \mathrm{dom}f\mid f(x)\le \alpha \}$ が閉集合であることをいう。

また同値であるが、$\mathrm{epi}f=\{(x,t)\in {ℝ}^{n+1}\mid x\in \mathrm{dom}f,f(x)\le t\}$ で定義されるエピグラフが閉であるとき、函数 $f(x)$ は閉となる。

この定義はすべての函数に対して適用されるものであるが、ほとんどは凸函数に対して使われている。真凸函数が閉であるための必要十分条件は、それが下半連続であることである。真凸函数ではない凸函数に対して、函数の「閉包」とは定義の上で異なる点があるテンプレート:Cn。

性質

• $f:{ℝ}^n\to ℝ$ が連続で、集合 $\mathrm{dom}f$ が閉なら、函数 $f$ も閉である。

• 閉真凸函数 f は、h ≤ f を満たすすべてのアフィン函数 h（f のアフィン劣函数と呼ばれる）の集合の各点毎の上限である。

参考文献

• テンプレート:Cite book
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