閉微分形式のソースを表示

{{redirect|閉形式|手続き的に[[閉じている]]式の表示|{{ill2|閉じた形の式|en|Closed-form expression}}}}
[[微分位相幾何学]]における[[微分形式]]が'''閉''' (closed) である、または'''閉微分形式'''（へいびぶんけいしき、{{lang-en-short|''closed differential form''}}、短く'''閉形式''' (closed form) とは、その[[外微分]]が零となるときに言う。

[[シュヴァルツの定理]]により、{{math|''C''{{sup|1}}}}-{{ill2|滑らかさの等級|fr|Classe de régularité|label=級}}函数係数の任意の[[完全微分形式]]は閉微分形式である。[[ポワンカレの補題]]はこの部分的な[[逆]]を保証する。
<!--{{Palette|Analyse vectorielle}}-->{{calculus|vector}}
== 一次微分形式の場合 ==
{{main|1-形式}}
{{mvar|n}}-次元の 1-形式 <math display="inline">\omega(u)=a_1(u)\mathit{dx}_1+\dotsb+a_n(u)\mathit{dx}_n</math> が'''閉'''であるとは、<math display="block">\frac{\partial a_i}{\partial x_j} - \frac{\partial a_j}{\partial x_i} = 0\quad (\forall i < j \leq n)</math> が成り立つことである。これは全部で {{math|''n''(''n'' – 1)/2}} この条件を満足することを言っている。
* 一次元の場合、可微分 1-形式 {{math|''ω'' {{coloneqq}} ''A''(''x'')''dx''}} は常に閉である。
* 二次元の場合、1-形式 {{math|''ω'' {{coloneqq}} ''A''(''x'', ''y'')''dx'' + ''B''(''x'', ''y'')''dy''}} が閉となるのは、<math display="block">\Bigl(\frac{\partial A}{\partial y}\Big)_x = \Bigl(\frac{\partial B}{\partial x}\Big)_y</math> を満たすときである。
* 三次元の場合、1-形式 {{math|''ω'' {{coloneqq}} ''A''(''x'', ''y'', ''z'')''dx'' + ''B''(''x'', ''y'', ''z'')''dy'' + ''C''(''x'', ''y'', ''z'')''dz''}} が閉となるのは、<math display="block">
  \Bigl(\frac{\partial A}{\partial y}\Big)_{x,z}
 =\Bigl(\frac{\partial B}{\partial x}\Big)_{y,z};\qquad
  \Bigl(\frac{\partial A}{\partial z}\Big)_{x,y}
 =\Bigl(\frac{\partial C}{\partial x}\Big)_{y,z};\qquad
  \Bigl(\frac{\partial B}{\partial z}\Big)_{x,y}
= \Bigl(\frac{\partial C}{\partial y}\Big)_{x,z}
</math> となるときである。これは {{math|Ω {{coloneqq}} {{sup|t}}(''A'', ''B'', ''C'')}} に対して {{math|1=[[回転 (ベクトル解析)|rot]] Ω = '''0'''}} となることに対応する。

== 注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{notelist}}
=== 出典 ===
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{fr icon}} Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles {{full|date=2017年9月}}
* {{fr icon}} Samuel Ferdinand Lubbe, ''Traité de calcul différentiel et de calcul intégral,'' Bachelier, 1832 {{lire en ligne|lien=https://books.google.fr/books?id=_PsJAAAAIAAJ&printsec=frontcover}}

== 関連項目 ==
{{Portal|数学}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=ClosedForm|title= Closed Form|author=Stover, Christopher; Weisstein, Eric W. }}
* {{PlanetMath|urlname=ClosedDifferentialForm|title=closed (differential form)}}
* {{PlanetMath|urlname=closeddifferentialformsonasimplyconnecteddomain|title=closed differential forms on a simply connected domain}}
* {{nlab|urlname=closed+form|title=closed form}}

{{DEFAULTSORT:へいひふんけいしき}}
[[Category:ベクトル解析]]
[[Category:微分方程式論]]
[[Category:微分形式]]
[[Category:数学に関する記事]]