閉微分形式

テンプレート:Redirect 微分位相幾何学における微分形式が閉 (closed) である、または閉微分形式（へいびぶんけいしき、テンプレート:Lang-en-short、短く閉形式 (closed form) とは、その外微分が零となるときに言う。

シュヴァルツの定理により、テンプレート:Math-テンプレート:Ill2函数係数の任意の完全微分形式は閉微分形式である。ポワンカレの補題はこの部分的な逆を保証する。 テンプレート:Calculus

一次微分形式の場合

テンプレート:Main テンプレート:Mvar-次元の 1-形式 $\omega (u)=a_1(u){𝑑𝑥}_1+\cdots +a_n(u){𝑑𝑥}_n$ が閉であるとは、$$\frac{\partial a_i}{\partial x_j}-\frac{\partial a_j}{\partial x_i}=0(\mathrm{\forall }i<j\le n)$$ が成り立つことである。これは全部で テンプレート:Math この条件を満足することを言っている。

• 一次元の場合、可微分 1-形式 テンプレート:Math は常に閉である。
• 二次元の場合、1-形式 テンプレート:Math が閉となるのは、$$(\frac{\partial A}{\partial y}{)}_x=(\frac{\partial B}{\partial x}{)}_y$$ を満たすときである。
• 三次元の場合、1-形式 テンプレート:Math が閉となるのは、$$(\frac{\partial A}{\partial y}{)}_{x,z}=(\frac{\partial B}{\partial x}{)}_{y,z};(\frac{\partial A}{\partial z}{)}_{x,y}=(\frac{\partial C}{\partial x}{)}_{y,z};(\frac{\partial B}{\partial z}{)}_{x,y}=(\frac{\partial C}{\partial y}{)}_{x,z}$$ となるときである。これは テンプレート:Math に対して テンプレート:Math となることに対応する。

参考文献

• テンプレート:Fr icon Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles テンプレート:Full
• テンプレート:Fr icon Samuel Ferdinand Lubbe, Traité de calcul différentiel et de calcul intégral, Bachelier, 1832 テンプレート:Lire en ligne

外部リンク

• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:PlanetMath
• テンプレート:PlanetMath
• テンプレート:Nlab