開平法のソースを表示

{{出典の明記|date=2016年7月}}
'''開平法'''（かいへいほう、{{lang-en-short|''extraction of square root''}}）とは、[[正の数と負の数|正]]の[[数]]の[[平方根]]の[[小数]]表示を求めていく[[アルゴリズム]]である。'''開平'''や'''開平算'''、'''開平計算'''とも。平方根を求めることを'''開平する'''という。[[冪根|開法]]の一種。

== 開平法の原理 ==
与えられた正の数の正の[[平方根]]の小数表示を求めるために、ここではまず[[漸化式]]を立てて、一般的な求値法を求める。そして、求値の明確化のために、開平法と呼ばれる[[筆算]]の原理を導出する。以下は[[十進法]]表示の場合だが、他の[[位取り記数法]]でも同様な計算で求められる。ここで述べるのと基本的には同じ方法で、[[立方根]]を求める[[開立法]]や、もっと一般に {{mvar|n}} 乗根を求めることも可能である。
{{For2|手続きを簡略化した筆算による方法|#筆算による求値}}
=== 問題の定式化 ===
与えられた {{math|{{sqrt|''x''}} (''x'' > 0)}} に対し、{{math|10{{sup|''k''}}}} の位 {{math|''a{{sub|k}}'' (''k'' ≤ ''n'')}} を求める：
:<math>\begin{align}
\sqrt{x} &=\textstyle\sum\limits_{k\le n} 10^k a_k \\
 &=10^n a_n +10^{n-1} a_{n-1} +\cdots +10^2 a_2 +10a_1 +a_0 +10^{-1} a_{-1} +10^{-2} a_{-2} +\cdots
\end{align}</math>
{{mvar|x}} の首位を {{mvar|a{{sub|n}}}} とする。つまり、{{mvar|n}} は {{math|{{sqrt|''x''}} < 10{{sup|''k''+1}}}} を満たす最小の {{mvar|k}} とする。また便宜上 {{math|''a{{sub|k}}'' {{=}} 0}} {{math|(''k'' > ''n'')}} とする。

{{math|{{sqrt|''x''}}}} の {{math|10{{sup|''m''}}}} の位より上（かみ）の位 {{mvar|p{{sub|m}}}} は分かっているとし、{{math|10{{sup|''m''}}}} の位 {{mvar|a{{sub|m}}}} を求めるとする。すなわち
:<math>p_m =\textstyle\sum\limits_{k=m+1}^n 10^{k-m-1} a_k =10^{n-m-1} a_n +10^{n-m-2} a_{n-1} +\cdots +10a_{m+2} +a_{m+1}</math>
とおく。
[[画像:Kaiheihou 1.png|thumb|250px|正方形ABCD の面積は {{math|10{{sup|&minus;2''m''}}''x''}}, 青い正方形の面積は {{math|100''p{{sub|m}}''{{sup|2}}}} で、橙色と桃色の部分の面積の和が {{math|(20''p{{sub|m}}'' + ''a{{sub|m}}'')''a{{sub|m}}'' {{=}} ''r{{sub|m}}''}} である。{{mvar|p{{sub|m}}}} の値はすでに決まっていて、{{mvar|a{{sub|m}}}} をどこまで大きく取れるのかが問題である。]]
{{mvar|a{{sub|m}}}} は {{math|10{{sup|''m''+1}}''p{{sub|m}}'' + 10{{sup|''m''}}''a{{sub|m}}'' ≤ {{sqrt|''x''}}}}
を満たす最大の {{mvar|a{{sub|m}}}}、すなわち
:{{math|(20''p{{sub|m}}'' + ''a{{sub|m}}'')''a{{sub|m}}'' ≤ 10{{sup|&minus;2''m''}}''x'' &minus; 100''p{{sub|m}}''{{sup|2}}}} … (1)
を満たす最大の {{mvar|a{{sub|m}}}} である。これを見つける。
:{{mvar|a{{sub|m}}}} の値は {{math|0}} から {{math|9}} までの 10 通りなので、順に試していけば {{mvar|a{{sub|m}}}} は求まる。
:{{math|''m'' {{=}} ''n''}} のとき、{{math|''p{{sub|n}}'' {{=}} 0}} より
::{{math|''a{{sub|n}}''{{sup|2}} ≤ 10{{sup|&minus;2''n''}}''x''}}
:{{math|''m'' < ''n''}} のとき、
::{{math|20''p{{sub|m}}a{{sub|m}}'' ≤ (20''p{{sub|m}}'' + ''a{{sub|m}}'')''a{{sub|m}}'' ≤ 10{{sup|&minus;2''m''}}''x'' &minus; 100''p{{sub|m}}''{{sup|2}}}}
{{math|''p{{sub|m}}'' ≠ 0}} より
::<math>a_m \le \frac{10^{-2m} x-100{p_m}^2}{20p_m}</math> 
:右辺の計算値により、{{mvar|a{{sub|m}}}} の値の見当を付けることができる。
これにより {{mvar|a{{sub|m}}}} が求まれば、
:{{math|''p''{{sub|''m''&minus;1}} {{=}} 10''p{{sub|m}}'' + ''a{{sub|m}}}}
の値が分かるから、
:{{math|(20''p''{{sub|m&minus;1}} + ''a''{{sub|''m''&minus;1}})''a''{{sub|''m''&minus;1}} ≤ 10{{sup|&minus;2(''m''&minus;1)}}''x'' &minus; 100''p''{{sub|''m''&minus;1}}{{sup|2}}}}
を満たす最大の {{math|''a''{{sub|''m''&minus;1}}}} を見つければよい。

このようにして、[[帰納]]的に {{mvar|a{{sub|k}}}} {{math|(''k'' ≤ ''n'')}} の値が求まる。

=== 漸化式の簡略化 ===
不等式(1) を簡略化する。「{{math|20}}」を基数 {{math|10}} と合わせるため {{math|10 × 2}} とする。そのため
:{{math|''q{{sub|m}}'' {{=}} 2''p{{sub|m}}''}}
:{{math|''y{{sub|m}}'' {{=}} 10{{sup|&minus;2''m''}}''x'' &minus; 100''p{{sub|m}}''{{sup|2}}}}
とおくと、不等式(1) は
:{{math|(10''q{{sub|m}}'' + ''a{{sub|m}}'')''a{{sub|m}}'' ≤ ''y{{sub|m}}''}} … (1')
である。
:{{math|''q{{sub|m}}'' {{=}} 2''p{{sub|m}}''}}
:&nbsp; &nbsp; {{math|{{=}} 2(10''p''{{sub|''m''+1}} + ''a''{{sub|''m''+1}})}}
:&nbsp; &nbsp; {{math|{{=}} 10''q''{{sub|''m''+1}} + 2''a''{{sub|''m''+1}}}} … (2)
(1') を満たす最大の {{mvar|a{{sub|m}}}} を求めるために、{{mvar|y{{sub|m}}}} の整数部分 {{mvar|z{{sub|m}}}} を、{{math|''z''{{sub|''m''+1}}}} から求める。

{{math|''r{{sub|m}}'' {{=}} (10''q{{sub|m}}'' + ''a{{sub|m}}'')''a{{sub|m}}''}} とおくと、
:{{math|''y{{sub|m}}'' {{=}} 10{{sup|&minus;2''m''}}''x'' &minus; 100''p{{sub|m}}''{{sup|2}}}}
:&nbsp; &nbsp; {{math|{{=}} 100{10{{sup|&minus;2(''m''+1)}}''x'' &minus; (10''p''{{sub|''m''+1}} + ''a''{{sub|''m''+1}}){{sup|2}}} }}
:&nbsp; &nbsp; {{math|{{=}} 100{10{{sup|&minus;2(''m''+1)}}''x'' &minus; 100''p''{{sub|''m''+1}}{{sup|2}}} &minus; 100(20''p''{{sub|''m''+1}} + ''a''{{sub|''m''+1}})''a''{{sub|''m''+1}}}}
:&nbsp; &nbsp; {{math|{{=}} 100''y''{{sub|''m''+1}} &minus; 100''r''{{sub|''m''+1}}}}
{{math|100''y''{{sub|''m''+1}} {{=}} 10{{sup|&minus;2''m''}}''x'' &minus; 10000''p''{{sub|''m''+1}}{{sup|2}}}} の整数部分は、{{mvar|x}} の {{math|10{{sup|''i''}}}} の位を {{mvar|x{{sub|i}}}} とすると、{{math|100''z''{{sub|''m''+1}} + 10''x''{{sub|2''m''+1}} + ''x''{{sub|2''m''}}}} に等しい。したがって、
:{{math|''z{{sub|m}}'' {{=}} (100''z''{{sub|''m''+1}} + 10''x''{{sub|2''m''+1}} + ''x''{{sub|2''m''}}) &minus; 100''r''{{sub|''m''+1}}}}
:&nbsp; &nbsp; {{math|{{=}} 100(''z''{{sub|''m''+1}} &minus; ''r''{{sub|''m''+1}}) + 10''x''{{sub|2''m''+1}} + ''x''{{sub|2''m''}}}} … (3)
(2), (3) から、(1') を満たす最大の {{mvar|a{{sub|m}}}} を求めていく。

=== 筆算による効率化 ===
{{mvar|p{{sub|m}}}} から不等式(1') を満たす最大の {{mvar|a{{sub|m}}}} を求めていくには、筆算による帰納的計算が明確である。
{|border="0" style="background:#ffdead"
| ||&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; {{mvar|a{{sub|m}}}}
|-
| ||&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;{{math|{{sqrt|&nbsp; &nbsp; … &nbsp; … &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;''x''{{sub|2''m''+1}} &nbsp;''x''{{sub|2''m''}} &nbsp;}}}}||
|-
| ||&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;{{math|''z''{{sub|''m''+1}}}}
|-
| ||&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;{{underline|&nbsp; &nbsp; &nbsp; {{math|''r''{{sub|''m''+1}}}} &nbsp; &nbsp; }} &nbsp; &nbsp; ↓ &nbsp; &nbsp;↓
|-
| ||{{mvar|q{{sub|m}}}} &nbsp;{{mvar|a{{sub|m}}}} &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; {{math|''z''{{sub|''m''+1}} &minus; ''r''{{sub|''m''+1}} &nbsp; ''x''{{sub|2''m''+1}} &nbsp;''x''{{sub|2''m''}} &nbsp;}}||
|-
| ||{{underline|&nbsp; &nbsp; &nbsp;{{mvar|a{{sub|m}}}} &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; {{math|(10''q{{sub|m}}'' + ''a{{sub|m}}'')''a{{sub|m}}''}} &nbsp;}}||
|-
| ||&nbsp; &nbsp; {{math|''q''{{sub|''m''&minus;1}}}} &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; {{math|''z{{sub|m}}'' &minus; ''r{{sub|m}}''}} &nbsp;
|}
#{{math|''z{{sub|m}}'' {{=}} 100(''z''{{sub|''m''+1}} &minus; ''r''{{sub|''m''+1}}) + 10''x''{{sub|2''m''+1}} + ''x''{{sub|2''m''}}}} から {{math|''r{{sub|m}}'' {{=}} (10''q{{sub|m}}'' + ''a{{sub|m}}'')''a{{sub|m}}''}} を引き、負とならない最大の {{mvar|a{{sub|m}}}} を求める。（主算）
#次の {{math|''a''{{sub|''m''&minus;1}}}} を求めるために、{{math|''q''{{sub|''m''&minus;1}} {{=}} (10''q{{sub|m}}'' + {{mvar|a{{sub|m}}}}) + {{mvar|a{{sub|m}}}}}} を求めておく。（副算）

== 具体的な計算方法 ==
例として、ここでは {{math|''x'' {{=}} 5630738.132}} の正の平方根 {{math|{{sqrt|''x''}}}} の小数表示を求める。初期値は、
*{{math|''x''{{sub|6}} {{=}} 5}}, {{math|''x''{{sub|5}} {{=}} 6}}, {{math|''x''{{sub|4}} {{=}} 3}}, {{math|''x''{{sub|3}} {{=}} 0}}, {{math|''x''{{sub|2}} {{=}} 7}}, {{math|''x''{{sub|1}} {{=}} 3}}, {{math|''x''{{sub|0}} {{=}} 8}}, {{math|''x''{{sub|&minus;1}} {{=}} 1}}, {{math|''x''{{sub|&minus;2}} {{=}} 3}}, {{math|''x''{{sub|&minus;3}} {{=}} 2}}, {{math|''x{{sub|i}}'' {{=}} 0}} {{math|(''i'' < &minus;3)}}

=== 漸化式による求値 ===
*{{math|10{{sup|6}} ≤ ''x'' < 10{{sup|8}}}} より、{{math|''n'' {{=}} 3}}
まずは {{math|''a''{{sub|3}}}} を求める。
*{{math|''z''{{sub|4}} {{=}} 0}}
*{{math|''r''{{sub|4}} {{=}} 0}}
*{{math|''p''{{sub|3}} {{=}} 0}} より {{math|''q''{{sub|3}} {{=}} 0}}
::{{math|''z''{{sub|3}} {{=}} 100(''z''{{sub|4}} &minus; ''r''{{sub|4}}) + 10''x''{{sub|7}} + ''x''{{sub|6}} {{=}} 100 × (0 &minus; 0) + 5 {{=}} 5}}
::{{math|''r''{{sub|3}} {{=}} (10''q''{{sub|3}} + {{math|''a''{{sub|3}}}}){{math|''a''{{sub|3}}}} {{=}} {{math|''a''{{sub|3}}}}{{sup|2}}}}
::{{math|''a''{{sub|3}}{{sup|2}} ≤ 5}} を満たす最大の {{math|''a''{{sub|3}}}} は、{{math|''a''{{sub|3}} {{=}} 2}} である。
次に、{{math|''a''{{sub|2}}}} を求める。
*{{math|''q''{{sub|2}} {{=}} (10''q''{{sub|3}} + ''a''{{sub|3}}) + ''a''{{sub|3}} {{=}} 2 + 2 {{=}} 4}}
::{{math|''z''{{sub|2}} {{=}} 100(''z''{{sub|3}} &minus; ''r''{{sub|3}}) + 10''x''{{sub|5}} + ''x''{{sub|4}} {{=}} 100 × (5 &minus; 4) + 63 {{=}} 163}}
::{{math|''r''{{sub|2}} {{=}} (10''q''{{sub|2}} + {{math|''a''{{sub|2}}}}){{math|''a''{{sub|2}}}} {{=}} (40 + {{math|''a''{{sub|2}}}}){{math|''a''{{sub|2}}}}}}
::{{math|(40 + ''a''{{sub|2}})''a''{{sub|2}} ≤ 163}} を満たす最大の {{math|''a''{{sub|2}}}} は、{{math|''a''{{sub|2}} {{=}} 3}} である。
{{math|''a''{{sub|1}}}} を求める。
*{{math|''q''{{sub|1}} {{=}} (10''q''{{sub|2}} + ''a''{{sub|2}}) + ''a''{{sub|2}} {{=}} 43 + 3 {{=}} 46}}
::{{math|''z''{{sub|1}} {{=}} 100(''z''{{sub|2}} &minus; ''r''{{sub|2}}) + 10''x''{{sub|3}} + ''x''{{sub|2}} {{=}} 100 × (163 &minus; 129) + 7 {{=}} 3407}}
::{{math|''r''{{sub|1}} {{=}} (10''q''{{sub|1}} + {{math|''a''{{sub|1}}}}){{math|''a''{{sub|1}}}} {{=}} (460 + {{math|''a''{{sub|1}}}}){{math|''a''{{sub|1}}}}}}
::{{math|(460 + ''a''{{sub|1}})''a''{{sub|1}} ≤ 3407}} を満たす最大の {{math|''a''{{sub|1}}}} は、{{math|''a''{{sub|1}} {{=}} 7}} である。
同様の計算を繰り返すと、各項の値は次の表のようになる。
{|border="1" 
!{{mvar|m}}!!{{math|10''x''{{sub|2''m''+1}} + ''x''{{sub|2''m''}}}}!!{{mvar|z{{sub|m}}}}!!{{mvar|q{{sub|m}}}}!!{{mvar|r{{sub|m}}}}!!{{mvar|a{{sub|m}}}}
|-
|style="text-align:right"|3||05||5||0||4||2
|-
|style="text-align:right"|2||63||163||4||4||3
|-
|style="text-align:right"|1||07||3407||46||129||7
|-
|style="text-align:right"|0||38||13838||474||3269||2
|-
|style="text-align:right"|&minus;1||13||435413||4744||9484||9
|-
|&minus;2||20||837220||47458||427041||1
|-
|&minus;3||00||36263900||474582||474581||7
|-
|&minus;4||00||304311100||4745834||284750076||6
|-
|&minus;5||00||1956102400||47458352||1898334096||4
|-
|︙||︙||︙||︙||︙||︙
|}
{{mvar|a{{sub|m}}}} の値から
:{{math|{{sqrt|5630738.132}} {{=}} 2372.91764…}}
である。

=== 筆算による求値 ===
{{mvar|a{{sub|m}}}} の値は、先述の筆算による方法（開平法）によりさらに簡単に計算できる。
:''本節は、これまでに登場した漸化式の原理により筆算の手順を説明するが、筆算の手順だけを知りたいのであれば、漸化式による説明の箇所を読み飛ばしても差し支えない''
{{math|''x'' {{=}} 5630738.132}} の正の平方根 {{math|{{sqrt|''x''}}}} の小数表示を求める。

まず、{{mvar|x}} の値を、[[小数点]]から2桁ずつ「ブロック」に分けて書く。
{|border="0" style="background:#ffdead"
| ||{{math|{{sqrt|5 &nbsp;63 &nbsp;07 &nbsp;38. 13 &nbsp;2}}}}||
|}
*各ブロックは、{{math|''z{{sub|m}}'' {{=}} 100(''z''{{sub|''m''+1}} &minus; ''r''{{sub|''m''+1}}) {{underline|+ 10''x''{{sub|2''m''+1}} + ''x''{{sub|2''m''}}}}}} の下線部に該当する。
左側に縦2つ等しい値を書き、積が左端のブロック (5) を超えない最大の値 (2) を見つける。ブロック (5) の上に見つけた値 (2) を書く。左の筆算を立て、下に和の計算結果 (4) を書く。ブロック (5) の下に、左の筆算の、和でなく積の計算結果（この場合は和と同じ {{math|4}}）を書く。筆算を立て、差の計算結果 (1) をその下に書く。
{|border="0" style="background:#ffdead"
| ||&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;{{math|2}}
|-
| ||&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;{{math|2}} &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;{{math|{{sqrt|5 &nbsp;63 &nbsp;07 &nbsp;38. 13 &nbsp;2}}}}||
|-
| ||積が{{math|5}}以下の最大値→{{underline|{{math|2}} &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;{{math|4}}}}←左の筆算の積
|-
| ||&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;和→{{math|4}}&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; {{math|1}}←差
|}
*{{math|''z''{{sub|4}} {{=}} ''r''{{sub|4}} {{=}} 0}} より {{math|''z''{{sub|3}} {{=}} 10''x''{{sub|8}} + ''x''{{sub|7}} {{=}} 5}}。{{math|''q''{{sub|3}} {{=}} 0}} より、{{math|(0 + ''a''{{sub|3}})''a''{{sub|3}} ≤ 5}} を満たす最大の {{math|''a''{{sub|3}}}} は {{math|''a''{{sub|3}} {{=}} 2}}。この時 {{math|''r''{{sub|3}} {{=}} 2 × 2 {{=}} 4}}。次の計算のために、{{math|''z''{{sub|3}} &minus; ''r''{{sub|3}} {{=}} 5 &minus; 4 {{=}} 1}}, {{math|''q''{{sub|2}} {{=}} 2 + 2 {{=}} 4}} を計算しておく。
差の計算結果 (1) の右隣りに、上のブロック (63) を下ろす。左の筆算の末位に縦2つ等しい値を書き、積が下ろしてできた数 (163) を超えない最大の値 (3) を見つける。ブロック (63) の上に見つけた値 (3) を書く。左の筆算を立て、下に和の計算結果 (46) を書く。下ろしてできた数 (163) の下に、左の筆算の積の計算結果 (129) を書く。筆算を立て、差の計算結果 (34) をその下に書く。
{|border="0" style="background:#ffdead"
| ||&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; {{math|2}} &nbsp; {{math|3}}
|-
| ||&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; {{math|2}} &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;{{math|{{sqrt|5 &nbsp;63 &nbsp;07 &nbsp;38. 13 &nbsp;2}}}}
|-
| ||&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; {{underline|{{math|2}} &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;{{math|4}} &nbsp;↓&nbsp;}}ブロックを下ろす
|-
| ||&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; {{math|43}} &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;{{math|1}} &nbsp;{{math|63}}
|-
| ||積が{{math|163}}以下の最大値→{{underline|&nbsp; {{math|3}} &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;{{math|1}} &nbsp;{{math|29}}}}←左の筆算の積||
|-
| ||&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 和→{{math|46}} &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;{{math|34}}←差 
|}
:{{math|''z''{{sub|2}} {{=}} 100(''z''{{sub|3}} &minus; ''r''{{sub|3}}) + 10''x''{{sub|5}} + ''x''{{sub|4}} {{=}} 163}}。{{math|(40 + ''a''{{sub|2}})''a''{{sub|2}} ≤ 163}} を満たす最大の {{math|''a''{{sub|2}}}} は {{math|''a''{{sub|2}} {{=}} 3}}。この時 {{math|''r''{{sub|2}} {{=}} 43 × 3 {{=}} 129}}。次の計算のために、{{math|''z''{{sub|2}} &minus; ''r''{{sub|2}} {{=}} 163 &minus; 129 {{=}} 34}}, {{math|''q''{{sub|1}} {{=}} 43 + 3 {{=}} 46}} を計算しておく。
同様の計算を（{{math|''m'' {{=}} &minus;5}} まで）行うと、次のようになる。
{|border="0" style="background:#ffdead"
| ||&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; {{math|2 &nbsp; &nbsp;3 &nbsp; &nbsp;7 &nbsp; &nbsp;2. &nbsp; 9 &nbsp; &nbsp;1 &nbsp; &nbsp;7 &nbsp; &nbsp;6 &nbsp; &nbsp;4}}||
|-
| ||{{math|2 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;{{sqrt|5 &nbsp;63 &nbsp;07 &nbsp;38. 13 &nbsp;20 &nbsp;00 &nbsp;00 &nbsp;00}}}}
|-
| ||{{underline|{{math|2 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;4 &nbsp; &nbsp; &nbsp;}}}}
|-
| ||{{math|43 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;1 &nbsp;63}}
|-
| ||{{underline|{{math|&nbsp; 3 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;1 &nbsp;29 &nbsp; &nbsp; &nbsp;}}}}
|-
| ||{{math|467 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;34 &nbsp;07}}
|-
| ||{{underline|{{math|&nbsp; &nbsp; 7 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;32 &nbsp;69 &nbsp; &nbsp; &nbsp;}}}}
|-
| ||{{math|4742 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;1 &nbsp;38 &nbsp;38}}
|-
| ||{{underline|{{math|&nbsp; &nbsp; &nbsp; 2 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;94 &nbsp;84 &nbsp; &nbsp; &nbsp;}}}}
|-
| ||{{math|47449 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;43 &nbsp;54 &nbsp;13}}
|-
| ||{{underline|{{math|&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 9 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;42 &nbsp;70 &nbsp;41 &nbsp; &nbsp; &nbsp;}}}}
|-
| ||{{math|474581 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;83 &nbsp;72 &nbsp;20}}
|-
| ||{{underline|{{math|&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 1 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;47 &nbsp;45 &nbsp;81 &nbsp; &nbsp; &nbsp;}}}}
|-
| ||{{math|4745827 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;36 &nbsp;26 &nbsp;39 &nbsp;00}}
|-
| ||{{underline|{{math|&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 7 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;33 &nbsp;22 &nbsp;07 &nbsp;89 &nbsp; &nbsp; &nbsp;}}}}
|-
| ||{{math|47458346 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;3 &nbsp;04 &nbsp;31 &nbsp;11 &nbsp;00}}
|-
| ||{{underline|{{math|&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 6 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;2 &nbsp;84 &nbsp;75 &nbsp;00 &nbsp;76 &nbsp; &nbsp; &nbsp;}}}}
|-
| ||{{math|474583524 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;19 &nbsp;56 &nbsp;10 &nbsp;24 &nbsp;00}}
|-
| ||{{underline|{{math|&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 4 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;18 &nbsp;98 &nbsp;33 &nbsp;40 &nbsp;96}}}}
|-
| ||{{math|474583528 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;57 &nbsp;76 &nbsp;83 &nbsp;04}}
|}
これより
:{{math|{{sqrt|5630738.132}} {{=}} 2372.91764…}}
である。

検算してみると、
:{{math|2372.91764{{sup|2}} {{=}} 5630738.1262231696}}
:{{math|2372.91765{{sup|2}} {{=}} 5630738.1736815225}}
となり
:{{math|2372.91764 < {{sqrt|5630738.132}} < 2372.91765}}
が確かに成り立つ。

== 珠算による開平法 ==
珠算による開平法として次の方法がある。
*倍根法
*半九九法
=== 根の定位 ===
根の定位の仕方は次のようになる。
*平方が整数のとき：平方の一の位から左へ2桁ずつ区分して、その区分できた回数が、根の桁数となる。
*平方が帯小数のとき：平方の一の位から左へ2桁ずつ区分して、その区分できた回数が、根の整数の桁数となる。
*平方が小数のとき：平方の {{math|0}} を2桁ずつ区分して、その区分できた回数が、根の小数点以下の {{math|0}} の桁数となる。

=== 倍根法 ===
例：{{math|{{sqrt|4225}} {{=}} 65}}
{|style="text-align:center;border-style:hidden"
|{{そろばん|0000004225}}
|平方の一の位から左へ2桁ずつ区分して、根の桁数が2桁であることを調べる。（根の定位による）
|-
|{{そろばん|0000604225}}
|最後の区分された数 {{math|42}} に含まれている平方根 {{math|6}} を求めて、初根 {{math|6}} を置き、初根 {{math|6}} の {{math|2}} 乗 ({{math|6{{sup|2}} {{=}} 36}}) を {{math|42}} から引く。
|-
|{{そろばん|1200600625}}
|初根 {{math|6}} の {{math|2}} 倍の {{math|12}} を、左に置き、その {{math|12}} で残りの平方を割って、次根 {{math|5}} を初根の隣りに置く。
|-
|{{そろばん|1200650025}}
|次根 {{math|5}} の {{math|2}} 乗 ({{math|5{{sup|2}} {{=}} 25}}) を引く。
|-
|{{そろばん|0000650000}}
|平方根は {{math|65}} である。
|}

=== 半九九法 ===
例：{{math|{{sqrt|4225}} {{=}} 65}}
{|style="text-align:center;border-style:hidden"
|{{そろばん|4225}}
|平方の一の位から左へ2桁ずつ区分して、根の桁数が2桁であることを調べる。（根の定位による）
|-
|{{そろばん|6004225}}
|最後の区分された数 {{math|42}} に含まれている平方根 {{math|6}} を求めて、初根 {{math|6}} を置き、初根 {{math|6}} の {{math|2}} 乗 ({{math|6{{sup|2}} {{=}} 36}}) を {{math|42}} から引く。
|-
|{{そろばん|6000625}}
|残りの平方 {{math|625}} を {{math|2}} で割る。（初根の {{math|2}} 乗を引いたあと、いつも残りの平方を {{math|2}} で割る）
|-
|{{そろばん|603125}}
|{{math|2}} で割った平方の残りを、初根 {{math|6}} で割って次根 {{math|5}} を求める。
|-
|{{そろばん|650125}}
|次根 {{math|5}} の半九九 {{math|12.5}} を引く。
|-
|{{そろばん|65}}
|平方根は {{math|65}} である。
|}

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
*[[ネイピアの骨]] - ネイピアの骨を使った場合の開平法
*[[開立法]]

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|1318|開平法のやり方と原理}}

{{DEFAULTSORT:かいへいほう}}
[[Category:算術]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:数学に関する記事]]