開立法のソースを表示

'''開立法'''（かいりつほう、かいりゅうほう、''extraction of cubic root''）は、[[正の数と負の数|正]]の[[実数]]の[[立方根]]の[[小数]]による[[近似値]]を求める方法の1つである。'''開立'''とも。立方根を求めることを'''開立する'''という。[[開法]]の一種。

== 立方九九 ==
開立する場合、以下の三乗九九を用いる。1/3九九を用いる場合もある。
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+ 表：立方九九
!計算!!暗唱方法
|-
|<math>1^3=1</math>||いんいちがいち 
|-
|<math>2^3=8</math>||ににんがはち
|-
|<math>3^3=27</math>||さざんにじゅうしち 
|-
|<math>4^3=64</math>||ししろくじゅうし
|-
|<math>5^3=125</math>||ごごひゃくにじゅうご
|-
|<math>6^3=216</math>||ろくろくにひゃくじゅうろく
|-
|<math>7^3=343</math>||しちしちさんびゃくしじゅうさん
|-
|<math>8^3=512</math>||はっぱごひゃくじゅうに
|-
|<math>9^3=729</math>||くくななひゃくにじゅうく 
|}

== 近似計算法 ==
=== 計算式（1） ===
開立の近似計算法には、次の代数式を用いる。
:<math>(a+b)^3 = a^{3} + 3a^{2} b + 3ab^{2} + b^{3}</math>
ここで、<math>a \gg b</math>とすると、
:<math>(a+b)^3 = a^{3} + 3a^{2} b</math>
:<math>b = \frac{(a+b)^{3}-a^{3}}{3a^{2}}</math>
である。両辺に''a''を加えて、
:<math>a + b = a + \frac{(a+b)^{3}-a^{3}}{3a^{2}}</math>
となる。この式の左辺を近似立方根、右辺の<math>(a+b)^{3}</math>を与えられた数として扱う。ただし、<math>a^{3}</math>は与えられた数に最も近い完全立方数である。

=== 計算式（2） ===
また、
:<math>(a-b)^3 = a^{3} - 3a^{2} b + 3ab^{2} - b^{3}</math>
を用いて、<math>a \gg b</math>として、
:<math>(a-b)^3 = a^{3} - 3a^{2} b</math>
:<math>b = \frac{a^{3}-(a-b)^{3}}{3a^{2}}</math>
である。したがって、
:<math>a - b = a - \frac{a^{3}-(a-b)^{3}}{3a^{2}}</math>
この式の左辺を近似立方根、右辺の<math>(a-b)^{3}</math>を与えられた数として扱う。ただし、<math>a^{3}</math>は与えられた数に最も近い完全立方数である。

=== 近似計算法を用いた計算例 ===
:<math>\sqrt[3]{1361}</math>
::<math>\sqrt[3]{1000}=10,~ \sqrt[3]{1331}=11,~ \sqrt[3]{1728}=12</math>と<math>\sqrt[3]{1361}</math>に近い数を求めると、<math>\sqrt[3]{1331}</math>が最も近い数であることがわかる。
::計算式(1)を用いて、<math>(a+b)^{3}=1361,~ a=11,~ a^{3}=1331</math>として求める数<math>a+b</math>は、
::<math>a + b = 11+ \frac{1361 - 1331}{3 \times 11^{2}} = 11.08264463\cdots</math>
::となる。電卓により計算すると、
::<math>\sqrt[3]{1361} \fallingdotseq 11.08203137\cdots</math>
::であり近似計算できることがわかる。

== 珠算による開立法 ==
=== 根の定位 ===
*立方が整数のとき：立方の1の位から左へ3けたずつ区分して、その区分できた回数が、根のけた数となる。
*立方が帯小数のとき：立方の1の位から左へ3けたずつ区分して、その区分できた回数が、根の整数のけた数となる。
*立方が小数のとき：立方の小数点以下の0を3けたずつ区分して、その区分できた回数が、根の小数点以下の0のけた数となる。

=== 倍根法 ===
例：<math>\sqrt[3]{314432}=68</math>
{| style="text-align:center; border-style:hidden"
|{{そろばん|314432}}
|立方の1の位から左へ3けたずつ区分して、根が2けたであることを調べる。（根の定位による）
|-
|{{そろばん|600314432}}
|最後の区分された数314に含まれている立方根6を求めて、初根6をおき、初根6の3乗（<math>6^3=216</math>）を314から引く。
|-
|{{そろばん|1800600098432}}
|初根6の3倍の18を、左におき、その18で残りの立方を、初根6の右４けために商を得るけたまで割る。
|-
|{{そろばん|1800605460152}}
|54を初根6で割って次根8を求める。
|-
|{{そろばん|1800680660152}}
|8×1=8を引く。 次根8の2乗（<math>8^2=64</math>）を66から引く。 
|-
|{{そろばん|1800680020152}}
|残った2に左の18を掛ける。（余りのかけ戻し） 
|-
|{{そろばん|1800680000512}}
|次根8の3乗（<math>8^3=512</math>）を引く。
|-
|{{そろばん|1800680000000}}
|立方根は68である。
|}

== 電卓による開立法 ==
[[関数電卓]]でない普通の[[電卓]]でも、開平を行う{{Keypress|√}}キーさえあれば立方根を求めることができる。
*まず与えられた数を入力し、{{Keypress|×}}{{Keypress|{{=}}}}の順にキーを押す。ただし[[カシオ計算機|カシオ]]の電卓に限り、{{Keypress|×}}{{Keypress|×}}と押す（定数計算モードを示す「K」が表示される）。
*{{Keypress|√}}{{Keypress|√}}と押す。このときに表示された数値の末尾数桁を記憶しておく。
*次に{{Keypress|{{=}}}}を押す。定数計算により、表示された数に最初の数が掛けられる。
*また{{Keypress|√}}{{Keypress|√}}と押す。表示された数値の末尾数桁が先程と同じ数値であれば、その数値が立方根となる。同じでなければ前項に戻って繰り返す。

== 関連項目 ==
*[[開平法]]

== 外部リンク ==

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[[Category:初等数学|かいりつほう]]
[[Category:数学に関する記事|かいりつほう]]