階冪のソースを表示

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正の整数における'''{{mvar|n}} の階冪'''（かいべき、{{lang-en-short|expofactorial}}）あるいは'''指数階乗'''（しすうかいじょう、{{lang-en-short|exponential factorial}}）とは、 1を最初の[[冪指数]]、2を最初の{{仮リンク|底 (冪乗)|label=底|en|Base (exponentiation)}}として最初の[[冪乗]]をつくり、その冪乗を次の指数、3を底としてその次の冪乗をつくりと繰り返し、 {{mvar|n}} を最後の底としてつくった冪乗の値を示す。つまりは

: <math>n\$ = n^{(n - 1)^{(n - 2) \cdots{1} }}</math><ref>訳注：記号<math>\$</math>は[[超階乗]]でも使用されているため、注意が必要である。</ref>

階冪は、[[漸化式]]で定義することもできる。

: <math>a_0 = 1,\quad a_n = n^{a_{n - 1}}</math>

階冪の最初の5つの値は、[[1]], [[1]], [[2]], [[9]], [[262144]], となる。 ({{OEIS|id=A049384}}) よって262144は4の階冪である。

: <math>262144 = 4^{3^{2^{1}}}</math>

漸化式を使用すると、最初の6つの階冪は以下のように導ける。

: 0 $ = 1
: 1 $ = 1 <sup>1</sup> = 1
: 2 $ = 2 <sup>1</sup> = 2
: 3 $ = 3 <sup>2</sup> = 9
: 4 $ = 4 <sup>9</sup> = 262144
: 5 $ = 5 <sup>262144</sup> = 6206069878 ... 8212890625（183231桁）

階冪は[[階乗]]や[[階乗#hyperfactorial|hyperfactorial]]（ハイパー階乗）より遥かに大きな値となる。たとえば 6$ は約 5{{e|183230}}桁の値になる。

1以下の階冪の逆数の[[総和]]は、以下の[[超越数]]である。

: <math>\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n\$}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{3^{2^1}}+\frac{1}{4^{3^{2^1}}}+\frac{1}{5^{4^{3^{2^1}}}}+\frac{1}{6^{5^{4^{3^{2^1}}}}}+\ldots=1.611114925808376736\underbrace{11111111\ldots 11111111}_{183213}272243682859\ldots</math>

この総和は[[リウヴィル数]]であるため超越数である。

[[テトレーション]]と同様、階冪関数の引数の[[実数]]及び[[複素数]]への拡張は現在認められていない。この点は[[ガンマ関数]]として拡張された階乗関数や[[K関数]]として拡張されたハイパー階乗とは異なる。ただし、1の帯幅で定義されていれば、拡張することは可能である。

== 関連する関数、表記法、規則 ==
* {{ill2|階加|zh|階加}}（[[三角数]]）
* [[階乗]]
* [[階乗冪]]
* [[超階乗]]
==脚注==
<references />

== 参考文献 ==
* Jonathan Sondow、「[http://mathworld.wolfram.com/ExponentialFactorial.html Exponential Factorial]」 [[MathWorld]] 、WolframWebリソースから

{{Numtheory-stub}}

{{DEFAULTSORT:かいへき}}
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[[Category:組合せ論]]
[[Category:数学の表記法]]
[[Category:巨大数]]
[[Category:指数関数]]
[[Category:数学に関する記事]]