階冪

テンプレート:上付き文字正の整数におけるテンプレート:Mvar の階冪（かいべき、テンプレート:Lang-en-short）あるいは指数階乗（しすうかいじょう、テンプレート:Lang-en-short）とは、 1を最初の冪指数、2を最初のテンプレート:仮リンクとして最初の冪乗をつくり、その冪乗を次の指数、3を底としてその次の冪乗をつくりと繰り返し、テンプレート:Mvar を最後の底としてつくった冪乗の値を示す。つまりは

n $ = n^{(n - 1)^{(n - 2) \dots 1}}

^[1]

階冪は、漸化式で定義することもできる。

a_{0} = 1, a_{n} = n^{a_{n - 1}}

階冪の最初の5つの値は、1, 1, 2, 9, 262144, となる。 (テンプレート:OEIS) よって262144は4の階冪である。

262144 = 4^{3^{2^{1}}}

漸化式を使用すると、最初の6つの階冪は以下のように導ける。

0 $ = 1

1 $ = 1 ¹ = 1

2 $ = 2 ¹ = 2

3 $ = 3 ² = 9

4 $ = 4 ⁹ = 262144

5 $ = 5 ²⁶²¹⁴⁴ = 6206069878 ... 8212890625（183231桁）

階冪は階乗やhyperfactorial（ハイパー階乗）より遥かに大きな値となる。たとえば 6$ は約 5テンプレート:E桁の値になる。

1以下の階冪の逆数の総和は、以下の超越数である。

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n $} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2^{1}} + \frac{1}{3^{2^{1}}} + \frac{1}{4^{3^{2^{1}}}} + \frac{1}{5^{4^{3^{2^{1}}}}} + \frac{1}{6^{5^{4^{3^{2^{1}}}}}} + \dots = 1.611114925808376736 \underset{183213}{\underset{⏟}{11111111 \dots 11111111}} 272243682859 \dots

この総和はリウヴィル数であるため超越数である。

テトレーションと同様、階冪関数の引数の実数及び複素数への拡張は現在認められていない。この点はガンマ関数として拡張された階乗関数やK関数として拡張されたハイパー階乗とは異なる。ただし、1の帯幅で定義されていれば、拡張することは可能である。

脚注