K関数

数学において、K関数とは、ハイパー階乗(hyperfactorial)の複素数への一般化である。

定義

形式的には、K関数は

$K(z)=(2\pi {)}^{(-z+1)/2}\exp [\left(\begin{array}{c}z\\ 2\end{array}\right)+\underset{0}{\overset{z-1}{\int }}\ln (t!)dt]$

のように定義される。これは、閉じた式としても表せ、

$K(z)=\exp [{\zeta }^{\prime }(-1,z)-{\zeta }^{\prime }(-1)]$

となる。ここで、ζ'(z)はリーマンゼータ関数の一階導関数、ζ(a,z)はフルヴィッツのゼータ関数で、

${\zeta }^{\prime }(a,z)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{\left[\frac{d\zeta (s,z)}{ds}\right]}_{s=a}$

である。また、ポリガンマ関数を用いた別の式もある。

$K(z)=\exp ({\psi }^{(-2)}(z)+\frac{z^2-z}{2}-\frac{z}{2}\ln (2\pi ))$

である。また、Balanced polygamma functionを使って、

$K(z)=A{e}^{\psi (-2,z)+\frac{z^2-z}{2}}$

とも書ける。ここで A はグレーシャーの定数である。

K関数はガンマ関数のときと同様に、スターリングの公式の類似公式を持つ。

$K(z+1)=A{e}^{-\frac{z^2}{4}}{z}^{\frac{z(z+1)}{2}+\frac{1}{12}}(1+\frac{1}{720z^2}-\frac{1433}{7257600z^4}+\frac{1550887}{15676416000z^6}-\cdots )$

K関数はガンマ関数やバーンズのG関数と密接な関連を持つ。正の実数nに対し、

$K(n)=\frac{(\mathrm{\Gamma }(n){)}^{n-1}}{G(n)}$

のような関連がある。より明確に書けば、

$K(n+1)=1^1{2}^2{3}^3\cdots n^n$

が自然数nに対し成り立つということである。より一般に、次のような関数等式を持つ。

$K(x+1)=K(x)x^x$

K関数は二重ガンマ関数の特殊な場合として捉えることができる。

$K(x)={\mathrm{\Gamma }}_{1,1}(x)e^{-{\zeta }^{\prime }(-1)}={\mathrm{\Gamma }}_2(x){\mathrm{\Gamma }}_1(x{)}^{x-1}{e}^{-{\zeta }^{\prime }(-1)}$

倍角公式

ガンマ関数の倍角公式の類似として、次の公式が知られている。

$K(Nx)=\left(\frac{e^{1/12}}{A}{)}^{N^2-1}\prod _{n=0}^{N-1}K\right(\frac{n}{N}+x{)}^N\cdot N^{\frac{1}{12}+\frac{N^2{x}^2}{2}-\frac{Nx}{2}}$

ここで、Aはグレイシャー・キンケリンの定数である。

数値

最初の数項の値は、

1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000, ... (テンプレート:OEIS).

となる。また、$K(\frac{1}{2})$は、

$K(\frac{1}{2})=\frac{A^{3/2}}{2^{1/24}\cdot e^{1/8}}$

のように表せる。ここで A はグレーシャーの定数である。

関係式

K関数とバーンズのG関数との積は次のようにかける。

$K(z)\cdot G(z)=\exp \{(z-1)\cdot \log [\mathrm{\Gamma }(z)]\}.$

ここで、$z\in ℂ,z\notin \mathbb{Z}\setminus \mathbb{N},z\ne 0.$

Benoit Cloitreは2003年、下の式を発表した。

$\frac{1}{K(n+1)}=(-1{)}^n\det \left|\begin{array}{ccccc}-1& -1& -1& \cdots & -1\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{4}& \frac{1}{8}& \cdots & \frac{1}{2^n}\\ -\frac{1}{3}& -\frac{1}{9}& -\frac{1}{27}& \cdots & -\frac{1}{3^n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{(-1{)}^n}{n}& \frac{(-1{)}^n}{n^2}& \frac{(-1{)}^n}{n^3}& \cdots & \frac{(-1{)}^n}{n^n}\end{array}\right|$.

参考文献

• テンプレート:Cite journal

関連項目

• 階乗
• ガンマ関数
• バーンズのG関数

外部リンク

• テンプレート:Mathworld