グレイシャー・キンケリンの定数

数学において、グレイシャー・キンケリンの定数(Glaisher–Kinkelin constant)、またはグレイシャーの定数は、K関数やバーンズのG関数に関連する数学定数であり、通常Aとかかれる。この定数は特にガンマ関数や、リーマンゼータ関数などに関係する多くの和や積分に出現する。なお、この定数の名前の由来は数学者であるジェームズ・ウィットブレッドリー・グレーシャーとヘルマン・キンケリンである。

グレイシャー・キンケリンの定数の近似値は次の通りである。

A \approx 1.2824271291 \dots

定義

グレイシャー・キンケリンの定数 $A$ は、

A = lim_{n \to \infty} \frac{K (n + 1)}{n^{n^{2} / 2 + n / 2 + 1 / 12} e^{- n^{2} / 4}}

の極限である。ここで、 $K (n) = \prod_{k = 1}^{n - 1} k^{k}$ はK関数である。この式をよく見ると、これはスターリングの近似との類似性が見つかる。

\sqrt{2 π} = lim_{n \to \infty} \frac{n!}{e^{- n} n^{n + \frac{1}{2}}}

πは階乗 $\prod_{k = 1}^{n} k$ 、Aは階乗の類似物であるK関数 $K (n) = \prod_{k = 1}^{n} k^{k}$ により表されている。

バーンズのG関数、 $G (n) = \prod_{k = 1}^{n - 2} k! = \frac{{[Γ (n)]}^{n - 1}}{K (n)}$ (ここで $Γ (n)$ はガンマ関数)を用いた、以下のような式もある。

A = lim_{n \to \infty} \frac{(2 π)^{n / 2} n^{n^{2} / 2 - 1 / 12} e^{- 3 n^{2} / 4 + 1 / 12}}{G (n + 1)}

.

グレーシャー・キンケリン定数はリーマンゼータ関数の微分の特定の値の評価に現れる。

ζ^{'} (- 1) = \frac{1}{12} - \ln A

\sum_{k = 2}^{\infty} \frac{\ln k}{k^{2}} = - ζ^{'} (2) = \frac{π^{2}}{6} [12 \ln A - γ - \ln (2 π)]

ここで、 $γ$ はオイラーの定数である。後の式は、グレーシャーにより見つけられた以下の無限積を与える。

\prod_{k = 1}^{\infty} k^{\frac{1}{k^{2}}} = {(\frac{A^{12}}{2 π e^{γ}})}^{\frac{π^{2}}{6}} .

以下は、この定数を含むいくつかの積分である。

\int_{0}^{1 / 2} \ln Γ (x) d x = \frac{3}{2} \ln A + \frac{5}{24} \ln 2 + \frac{1}{4} \ln π

\int_{0}^{\infty} \frac{x \ln x}{e^{2 π x} - 1} d x = \frac{1}{2} ζ^{'} (- 1) = \frac{1}{24} - \frac{1}{2} \ln A

この定数の級数表現は、ヘルムート・ハッセにより与えられた、リーマンゼータ関数のための級数から生じる。

\ln A = \frac{1}{8} - \frac{1}{2} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n + 1} \sum_{k = 0}^{n} {(- 1)}^{k} (\binom{n}{k}) {(k + 1)}^{2} \ln (k + 1)