随伴表現のソースを表示

{{出典の明記|date=2014年4月}}
[[リー群]]の[[リー環]]上への'''随伴表現'''（ずいはんひょうげん、{{lang-en-short|''adjoint representation''}}）とは、[[リー群]]の元を[[リー環]]のある種の線型変換として表したものをいう。

==定義==

<math>G</math> を[[リー群]]、<math>\mathfrak{g}</math> をそれに付随する[[リー代数]]（ <math>G</math> の[[単位元]]における[[接ベクトル空間|接空間]]）とする。

<math>g \in G</math> として <math>h \in G</math> に対して <math>\phi_{g} : G \to G,\,\phi_{g} : h \mapsto ghg^{-1}</math> を <math>G</math> の[[群_(数学)#群の準同型・同型|内部自己同型]]写像といい、さらに[[写像の微分|微分]] <math>d(\phi_{g})_{e} =: Ad_{g} : \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}</math> によって付随するリー代数の[[同型写像]]が得られる。

<math>Ad_{g}</math> は <math>\mathfrak{g}</math> の[[線型写像]]になっていて、[[準同型]]
:<math>Ad : G \to GL(\mathfrak{g}),\quad g \mapsto Ad_{g}</math>
を[[リー群]]の随伴表現という。

===リー代数の随伴表現===
{{main|リー代数の随伴表現}}
[[リー群]]の随伴表現の微分を <math>ad</math> で表し、これをリー代数の随伴表現という。

==関連項目==
*[[リー代数]]
*[[AD]]（曖昧さ回避）
{{Differential-geometry-stub}}
{{デフォルトソート:すいはんひようけん}}
[[Category:表現論]]
[[Category:数学に関する記事]]