離心率のソースを表示

{{otheruses|幾何学での離心率|天文学での離心率|軌道離心率}}

[[Image:Eccentricity.png|thumb|right|upright=1.25|
焦点Fと準線Lを固定し、離心率 {{Math|''e''}} を変えて描かれた円錐曲線。離心率{{Math|''e''}}は線分PP'の長さ&#124;PP'&#124;と線分FPの長さ&#124;FP&#124;を用いてe = &#124;FP&#124;/&#124;PP'&#124;と表される。図の曲線はそれぞれ楕円 (赤色、{{math|1=''e'' = 1/2}})、放物線 (緑色、{{math|1=''e'' = 1}})、双曲線 (青色、{{math|1=''e'' = 2}})である。真円は、点Fに限りなく近い点にあり、離心率eは0である。逆に直線は、点Pが限りなく準線に近い距離にあり、離心率eが1の線と表現することができる。これらの円錐曲線はいずれも交差しない。]]

'''離心率'''（りしんりつ、{{lang-en|eccentricity}}）とは、[[円錐曲線]]（二次曲線）の特徴を示す数値の一つで、真円から離れる程度を表す。0から∞までの値をとり、真円では0、直線では∞をとる。

== 定義 ==
円錐曲線、すなわち[[円 (数学)|円]]・[[楕円]]・[[放物線]]・[[双曲線]]はいずれも、'''[[焦点 (幾何学)|焦点]] {{math|F}} からの距離と、[[準線]] {{mvar|L}} からの距離の比 {{mvar|e}} が一定'''となる点の集合である。この比 {{mvar|e}} が離心率である。すなわち、円錐曲線上の任意の点 {{math|P}} について、焦点 {{math|F}} からの距離を {{math|FP}}、準線 {{mvar|L}} からの距離を {{math|PP''&#39;''}} と表すと
:<math>e = \frac{FP}{PP'}</math>
となる。円の場合は楕円での準線を無限遠方においた極限とみなし、離心率は {{math|0}} とする。

== 離心率と二次曲線の分類 ==
離心率 {{mvar|e}} の値により、描かれる曲線は以下のように変化する。
* {{math|''e'' {{=}} 0}} … 真円
* {{math|0 < ''e'' < 1}} … 楕円
* {{math|''e'' {{=}} 1}} … 放物線
* {{math|1 < ''e''}} … 双曲線

=== 楕円の離心率 ===
楕円の場合、長径と短径をそれぞれ {{math2|2''a'', 2''b''}} とすると焦点同士の距離は <math>2 \sqrt{a^2 - b^2}</math> となり
:<math>e = \frac{2 \sqrt{a^2 - b^2}}{2a} = \sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}</math>
である。したがって、楕円形が真円に近いほど離心率は小さな値をとる。

[[扁平率]] を {{mvar|f}} とすると、
:<math>f=\frac{a-b}{a}=1-\frac{b}{a}</math>
離心率の自乗 {{math|''e''{{sup|2}}}} は、
:<math>e^2=\frac{a^2-b^2}{a^2}=f(2-f)</math>
である。

{{mvar|e}} は “第一離心率” と称される。また第二離心率 {{mvar|e&#39;}}、第三離心率 {{mvar|e&#39;&#39;}}<ref>第三離心率は {{Math|''m''}} と表記されることもある。</ref><ref>古くは[[オイラー]]が第三離心率の二乗を[[地球]]の[[子午線弧#子午線弧長の計算|子午線弧長の計算]]に使用している記述が[[1755年]]の論文に認められる。また[[:fr:Louis Puissant]]も[[1842年]]の論文で子午線弧長の計算に第三離心率を用いている。</ref>も用いられる。
:<math>e'=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{b^2}}, \quad e''=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}}</math>

==== 地球の離心率 ====
[[地球]]（[[GRS80]][[回転楕円体]]）の離心率は、その定義された[[扁平率]]から計算すると、{{math2|''e'' ≈ 0.081 819 191 042 815 790, ''e''{{sup|2}} ≈ 0.006 694 380 022 900 788}} である。

== 関連項目 ==
*[[円錐曲線]]
*[[扁平率]]
*[[軌道離心率]]

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* König, R. and Weise, K. H. (1951): ''Mathematische Grundlagen der höheren Geodäsie und Kartographie'', Band 1, Das Erdsphäroid und seine konformen Abbildungen, Springer-Verlag, Berlin/Göttingen/Heidelberg
* Ганьшин, В. Н. (1967): ''Геометрия земного эллипсоида'', Издательство «Недра», Москва
* Puissant, L. (1842): [http://ia331407.us.archive.org/3/items/traitdegodsie00unkngoog/traitdegodsie00unkngoog.pdf ''Traité de Géodésie; ou, Exposition des Méthodes Trigonométriques et Astronomiques, applicables à la Mesure de la terre, et à la Construction du Canevas des Cartes Topographiques''], 1, Bachelier, Imprimeur-Libraire, Paris, 295-304

== 外部リンク ==
*{{高校数学の美しい物語|2352|離心率の意味と関連する計算}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:りしんりつ}}
[[Category:解析幾何学]]
[[Category:軌道]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:率・割合]]