離心近点角のソースを表示

[[File:Eccentric and True Anomaly.svg|thumb|楕円軌道（赤線）上の点 P を外接円（青線）に射影した点 P' が、近点 A に対して中心 C のまわりになす角度 ''E'' が離心近点角である。]]
'''離心近点角'''（りしんきんてんかく、{{Lang-en|eccentric anomaly}}）とは、[[楕円軌道]]上の位置を表現する[[角度]]パラメータの一つである。[[楕円]]上の点を[[外接円]]上に[[長軸]]に対する[[垂線]]を共有するように[[射影]]するとき、[[近点]]に対して射影点がなす楕円の中心のまわりの角度である。

== 概要 ==
[[長半径]] {{mvar|a}}、短半径 {{mvar|b}} の楕円の方程式は
:<math>\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} =1</math>
で与えられる。これを[[媒介変数]]を用いて
:<math>x = a\cos E,~ y = b\sin E</math>
と表示したときの {{mvar|E}} が離心近点角である。

離心近点角は、楕円軌道を特徴付けるパラメータである[[離心率]] {{mvar|e}} と[[長半径]] {{mvar|a}} を用いて、軌道上の位置を指定するパラメータである中心天体（[[焦点]]）からの距離 {{mvar|r}} と
:<math>r =a(1-e\cos E)</math>
で関係付けることができる。また、[[真近点角]] {{mvar|&nu;}} とは
:<math>\cos\nu =\frac{\cos E -e}{1 -e \cos E}</math>
:<math>\tan\frac{\nu}{2} = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \tan\frac{E}{2}</math>
で関係付けることができる。

== ケプラーの方程式 ==
[[平均近点角]] {{mvar|M}} は離心近点角と
:<math>M = E - e\sin E</math>
で関係付けられる。この関係式は[[ケプラーの方程式]]と呼ばれる。

<math>e</math> (<math>e < 0.6627434 </math>)の値は小さいため、<math>E_0 = M</math> という初項を使って、[[漸化式]] <math>E_{i+1} = M + e\sin E_i</math> によりこの方程式を解くことができる。最初の数項における {{mvar|e}} の[[冪級数]]は次のようになる。
:<math>E = M +e\sin M +\frac{e^2}{2} \sin 2M + \frac{e^3}{8} (3\sin 3M -\sin M) +\dots</math>

== 関連項目 ==
* [[ケプラーの法則]] - [[楕円軌道]]
* [[軌道要素]] - [[平均近点角]] - [[真近点角]] - [[射影近点角]]
{{軌道}}
{{DEFAULTSORT:りしんきんてんかく}}
[[Category:幾何学]]
[[Category:天体力学]]
[[Category:軌道]]
[[Category:角度]]
[[Category:数学に関する記事]]