電磁場テンソルのソースを表示

'''電磁場テンソル'''（でんじばテンソル）とは、[[電磁場]]を[[相対性理論]]に基づいた4次元時空の形式で記述した2階の反対称テンソル場である。以後、相対論と言えば、特に断りがなければ[[特殊相対性理論]]を指す。

== 定義 ==
電磁場の強度（{{en|field strength}}）{{mvar|F}} は二階のテンソル
{{Indent|
<math>F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu -\partial_\nu A_\mu</math>
}}
と定義される<ref name="landau_ss23">[[#landau|ランダウ, リフシッツ]] pp.67-69, &sect;23.電磁場テンソル</ref>。
ここで {{mvar|A}} は相対論的な[[4元ベクトル]]の[[電磁ポテンシャル]]
{{Indent|
<math>A^\mu = \left(
 \frac{\phi}{c}, \boldsymbol{A} \right),~
A_\mu =\eta_{\mu\nu} A^\nu = \left(
 -\frac{\phi}{c}, \boldsymbol{A} \right)</math>
}}
である<ref group="註" name="minkowski">ここではミンコフスキー計量の符号を &eta;=diag(-1,+1,+1,+1) に選んでいる。</ref>。
また、微分も相対論的な4元ベクトル
{{Indent|
<math>\partial_\mu =\frac{\partial}{\partial x^\mu} = \left(
 \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \nabla \right)</math>
}}
である。

定義から電磁場テンソルは明らかに[[反対称]]テンソルである。従って独立成分は6つある。
これは3次元空間の[[ベクトル場]]である[[電場|電場の強度]] {{mvar|'''E'''}} と[[磁束密度]] {{mvar|'''B'''}} の各成分に対応する。
電場の強度と磁束密度は3次元空間の電磁ポテンシャルによって
{{Indent|
<math>\boldsymbol{E} = -\nabla\phi -\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}</math>
}}
{{Indent|
<math>\boldsymbol{B} = \nabla\times\boldsymbol{A}</math>
}}
と表される。
あるいは各成分毎に
{{Indent|
<math>E_j/c = \partial_j A_0 -\partial_0 A_j = -F_{0j}</math>
}}
{{Indent|
<math>B_i \epsilon_{ijk} = \partial_j A_k -\partial_k A_j = F_{jk}</math>
}}
と書くことが出来る<ref group="註" name="minkowski"/>。
具体的には
{{Indent|
<math>(F_{01},F_{02},F_{03}) =(-E_x/c,-E_y/c,-E_z/c)</math>
}}
{{Indent|
<math>(F_{23},F_{31},F_{12}) =(B_x,B_y,B_z)</math>
}}
である<ref group="註" name="minkowski"/>。上付きの
<math>F^{\mu\nu} =\eta^{\mu\rho}\eta^{\nu\sigma}F_{\rho\sigma}</math> は
{{Indent|
<math>(F^{01},F^{02},F^{03}) =(E_x/c,E_y/c,E_z/c)</math>
}}
{{Indent|
<math>(F^{23},F^{31},F^{12}) =(B_x,B_y,B_z)</math>
}}
となる<ref group="註" name="minkowski"/>。それぞれ行列の形で表せば
{{Indent|
<math>(F_{\mu\nu}) =
\begin{bmatrix}
 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\
 E_x/c & 0 & B_z & -B_y \\
 E_y/c & -B_z & 0 & B_x \\
 E_z/c & B_y & -B_x & 0 \\
\end{bmatrix},</math>
}}
{{Indent|
<math>(F^{\mu\nu}) =
\begin{bmatrix}
 0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\
 -E_x/c & 0 & B_z & -B_y \\
 -E_y/c & -B_z & 0 & B_x \\
 -E_z/c & B_y & -B_x & 0 \\
\end{bmatrix}</math>
}}
となる。

=== 双対テンソル ===
[[完全反対称テンソル]] {{mvar|&epsilon;}} を用いれば、電磁場の強度 {{mvar|F}} に双対なテンソル
{{Indent|
<math>\tilde{F}^{\mu\nu} =\frac{1}{2}
 \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}F_{\rho\sigma}</math>
}}
が定義される<ref>[[#jackson|ジャクソン]] 819頁</ref>。
具体的には
{{Indent|
<math>(\tilde{F}^{01},\tilde{F}^{02},\tilde{F}^{03})
 =(F_{23},F_{31},F_{12}) =(B_x,B_y,B_z)</math>
}}
{{Indent|
<math>(\tilde{F}^{23},\tilde{F}^{31},\tilde{F}^{12})
 =(F_{01},F_{02},F_{03}) =(-E_x/c,-E_y/c,-E_z/c)</math>
}}
であり、行列の形で表せば
{{Indent|
<math>(\tilde{F}^{\mu\nu}) =
\begin{bmatrix}
 0 & B_x & B_y & B_z \\
 -B_x & 0 & -E_z/c & E_y/c \\
 -B_y & E_z/c & 0 & -E_x/c \\
 -B_z & -E_y/c & E_x/c & 0 \\
\end{bmatrix}</math>
}}
となる。

=== 媒質中の電磁場 ===
媒質中での電磁場を表す[[電束密度]] {{mvar|'''D'''}} と[[磁場|磁場の強度]] {{mvar|'''H'''}} は、電磁場の強度と同様に二階のテンソル {{mvar|G}} によって相対論的な形式で記述される。
それぞれの成分は具体的には
{{Indent|
<math>(G^{01},G^{02},G^{03})=(D_x,D_y,D_z)</math>
}}
{{Indent|
<math>(G^{23},G^{31},G^{12})=(H_x/c,H_y/c,H_z/c)</math>
}}
である<ref>[[#jackson|ジャクソン]] 820頁</ref>。このテンソル {{mvar|G}} はサブ電磁テンソルとも呼ばれる。
サブ電磁テンソル {{mvar|G}} は電磁場の強度 {{mvar|F}} と
{{Indent|
<math>G^{\mu\nu} = \frac{1}{Z_0} F^{\mu\nu} +P^{\mu\nu} = \frac{1}{c\mu_0} F^{\mu\nu} +P^{\mu\nu}</math>
}}
で関係付けられる。ここで {{mvar|P}} は分極テンソルであり、その成分は[[誘電分極]] {{mvar|'''P'''}} と[[磁化]] {{mvar|'''M'''}} である。
具体的には
{{Indent|
<math>(P^{01},P^{02},P^{03}) =(P_x,P_y,P_z)</math>
}}
{{Indent|
<math>(P^{23},P^{31},P^{12}) =(-M_x/c,-M_y/c,-M_z/c)</math>
}}
である。
サブ電磁テンソル {{mvar|G}} と分極テンソル {{mvar|P}} をそれぞれ行列の形で表せば
{{Indent|
<math>(G^{\mu\nu}) =
\begin{bmatrix}
 0 & D_x & D_y & D_z \\
 -D_x & 0 & H_z/c & -H_y/c \\
 -D_y & -H_z/c & 0 & H_x/c \\
 -D_z & H_y/c & -H_x/c & 0 \\
\end{bmatrix}</math>
}}
{{Indent|
<math>(P^{\mu\nu}) =
\begin{bmatrix}
 0 & P_x & P_y & P_z \\
 -P_x & 0 & -M_z/c & M_y/c \\
 -P_y & M_z/c & 0 & -M_x/c \\
 -P_z & -M_y/c & M_x/c & 0 \\
\end{bmatrix}</math>
}}
である。

=== 球座標表示 ===
[[球面座標系]] {{math|(''ct, r, &theta;, &phi;'')}} による4元ポテンシャルの成分表示は
{{Indent|
<math>A_\mu =\left (-\frac{\phi}{c}, A_r, rA_\theta, rA_\varphi\sin\theta \right)</math>
}}
であり、電磁場強度 {{mvar|F}} として
{{Indent|
<math>(F_{\mu\nu}) =
\begin{bmatrix}
 0 & -E_r/c & -rE_\theta/c & -rE_\varphi\sin\theta/c \\
 E_r/c & 0 & rB_\varphi & -rB_\theta\sin\theta \\
 rE_\theta/c & -rB_\varphi & 0 & r^2B_r\sin\theta \\
 rE_\varphi\sin\theta/c & rB_\theta\sin\theta & -r^2B_r\sin\theta & 0 \\
\end{bmatrix}</math>
}}
が得られる。
平坦な時空のミンコフスキー計量とその逆行列は球座標において
{{Indent|
<math>\eta_{\mu\nu} =\operatorname{diag}(-1,1,r^2,r^2\sin^2\theta)</math>
}}
{{Indent|
<math>\eta^{\mu\nu} =\operatorname{diag}(-1,1,\tfrac{1}{r^2},\tfrac{1}{r^2\sin^2\theta})</math>
}}
であり、電磁場強度の添え字を上げると
{{Indent|
<math>(F^{\mu\nu}) =
\begin{bmatrix}
 0 & E_r/c & E_\theta/cr & E_\varphi/cr\sin\theta \\
 -E_r/c & 0 & B_\varphi/r & -B_\theta/r\sin\theta \\
 -E_\theta/cr & -B_\varphi/r & 0 & B_r/r^2\sin\theta \\
 -E_\varphi/cr\sin\theta & B_\theta/r\sin\theta & -B_r/r^2\sin\theta & 0 \\
\end{bmatrix}</math>
}}
となる。

例えば、原点に点電荷 {{mvar|q}} が存在するときの電磁場テンソルは
{{Indent|
<math>(F^{\mu\nu}) =
\begin{bmatrix}
 0 & \frac{1}{4\pi\epsilon_0c}\frac{q}{r^2} & 0 & 0 \\
 -\frac{1}{4\pi\epsilon_0c} \frac{q}{r^2} & 0 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}</math>
}}
で表される。

== マクスウェルの方程式 ==
電磁場テンソルによって、相対論的な形で[[マクスウェルの方程式]]を記述することができる。
定義から[[ビアンキ恒等式]]
{{Indent|
<math>\partial_\rho F_{\mu\nu} +\partial_\mu F_{\nu\rho} +\partial_\nu F_{\rho\mu} =0</math>
}}
が成り立つ<ref name="landau_ss26">[[#landau|ランダウ, リフシッツ]] pp.74-75, &sect;26.マクスウェル方程式の第1の組</ref>。
双対テンソルを用いれば
{{Indent|
<math>\partial_\mu \tilde{F}^{\mu\nu} =\frac{1}{2} \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\partial_\mu F_{\rho\sigma} =0</math>
}}
と表すことも出来る<ref name="landau_ss26"/>。
この式は添え字 {{math|1=''&nu;'' = 0,1,2,3}} についての4つの方程式であり、それぞれ
{{Indent|
<math>\nabla\cdot \boldsymbol{B} =0</math>
}}
{{Indent|
<math>\nabla\times \boldsymbol{E}
 +\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t} =\mathbf{0}</math>
}}
と対応する。

[[自由空間]]における電磁場の運動方程式は
{{Indent|
<math>\partial_\mu F^{\mu\nu} =-\frac{Z_0}{c}\, j^\nu =-\mu_0 j^\nu</math>
}}
と表される。
ここで {{mvar|j}} は[[4元電流密度]]である。
この式は添え字 {{math|1=''&nu;'' = 0,1,2,3}} についての4つの方程式であり、それぞれ
{{Indent|
<math>\nabla\cdot \boldsymbol{E} =\frac{\rho}{\epsilon_0}</math>
}}
{{Indent|
<math>\nabla\times \boldsymbol{B}
 -\frac{1}{c^2} \frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t}
 =\mu_0 \boldsymbol{j}</math>
}}
と対応する。

=== 媒質中の運動方程式 ===
媒質中の運動方程式は
{{Indent|
<math>\partial_\mu G^{\mu\nu} =-\frac{1}{c}\, j^\nu</math>
}}
と表される。
成分ごとにそれぞれ
{{Indent|
<math>\nabla\cdot \boldsymbol{D} =\rho</math>
}}
{{Indent|
<math>\nabla\times \boldsymbol{H}
 -\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t}
 =\boldsymbol{j}</math>
}}
である。

== ローレンツ力 ==
電磁場テンソルは荷電粒子に作用する[[ローレンツ力]]を相対論的に記述する際に現れる。
相対論的な粒子の位置を {{math|1={{mvar|X}} = ({{mvar|ct}}, {{mvar|'''r'''}})}} で表すとき、電荷 {{mvar|q}} を帯びた荷電粒子に作用するローレンツ力は
{{Indent|
<math>\dot{p}_\mu =-q\dot{X}^\nu F_{\nu\mu}(X)</math>
}}
となる<ref name="landau_ss23"/>。
ここで {{mvar|p}} は粒子の[[4元運動量]]である。ドットは運動のパラメータによる微分である。
{{Main|ローレンツ力|古典電磁気学の共変定式#ローレンツ力}}

== 一般相対論 ==
時空の[[曲率]]、すなわち[[重力場]]がある場合に、偏微分はテンソルとはならず、[[レヴィ・チヴィタ接続#擬リーマン多様体のレヴィ-チヴィタ接続|レヴィ・チヴィタ接続]]を導入して共変微分への置き換えが必要となる。しかし、電磁場強度 {{mvar|F}} は偏微分による定義を変更することなくテンソルである。反対称性により共変微分の接続が相殺されるため
{{Indent|
<math>F_{\mu\nu} =\mathcal{D}_\mu A_\nu -\mathcal{D}_\nu A_\mu =\partial_\mu A_\nu -\partial_\nu A_\mu</math>
}}
となる<ref name="landau_ss90">[[#landau|ランダウ, リフシッツ]] pp.285-287, &sect;90.</ref>。ビアンキ恒等式は定義から成り立つので変更を要しないが、運動方程式は
{{Indent|
<math>\mathcal{D}_\mu F^{\mu\nu} =-\frac{Z_0}{c}\, j^\nu</math>
}}
であり<ref name="landau_ss90"/>、共変微分への置き換えが必要となる。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
<references group="註"/>
=== 出典 ===
<references/>

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書
|author1=L.D.ランダウ|authorlink1=レフ・ランダウ|author2=E.M.リフシッツ|authorlink2=エフゲニー・リフシッツ
|title=場の古典論
|series=[[理論物理学教程]]
|publisher=[[東京図書]]
|year=1978
|isbn=4-489-01161-X
|ref=landau
}}
* {{Cite book|和書
|author=J.D.ジャクソン
|title=電磁気学
|series=物理学叢書
|publisher=[[吉岡書店]]
|year=2003
|isbn=4-8427-0308-3
|ref=jackson
}}

== 関連項目 ==
*[[電磁気学]]
*[[特殊相対性理論]]
*[[テンソル]]
*[[マクスウェル方程式]]
*[[アインシュタインの縮約記法]]

{{電磁気学}}
{{Tensors}}

{{DEFAULTSORT:てんしてんそる}}
[[Category:電磁気学]]
[[Category:微分方程式]]
[[Category:電気理論]]
[[Category:自然科学の法則]]
[[Category:テンソル]]