非可換整域のソースを表示

[[数学]]の特に[[環論]]と呼ばれる[[抽象代数学]]の一分野における（'''非可換'''{{efn|name="strictness"|ここでいう「非可換」は一般に「必ずしも可換とは限らない」の意味だが、可換でないことを強調する意味で非可換とつけることもあるので注意。本項では必ずしも可換でないという意味では単に「域」を用い、非可換であることを強調する意味で「非可換域」を用いた。広義には、integral domain の意味で domain を用いたり<ref>{{MathWorld|urlname=Domain|title=Domain}}</ref>、可換・非可換あるいは非零単位元の有無を問わず「整域 (integral domain)」という語を用いることも少なくないので、文脈に注意すべきである。}}）'''整域'''あるいは'''域'''（いき、{{lang-en-short|''domain''}}）とは、右または左[[零因子]]を持たない（つまり {{math|1=''ab'' = [[加法単位元|0]]}} ならば {{math|1=''a'' = 0}} または {{math|1=''b'' = 0}} が成り立つ{{sfn|Polcino M.|Sehgal|2002|p=65}}、{{ill2|零積性質|label=零積律|en|Zero-product property}}を満たすとも言われる）[[擬環|環]]のことを言う。しばしば[[自明環|自明]]でない（一つよりも多くの元を持つ）ことを仮定する{{sfn|Lanski|2005|p=343|loc=Definition 10.18}}が、域が[[乗法単位元]]を持つならば、この仮定は {{math|1 &ne; 0}} と同値{{sfn|Jacobson|2009|p=90|loc=Section 2.2|ps= &mdash;"Note that if 1=0, then a=1a=0a=0 showing that all elements are 0."}}であり、この場合の域は「左または右零因子を持たない非自明な[[環 (数学)|環]]」のことになる。1(&ne; 0) を持つ[[可換環|可換]]域は[[整域|（可換）整域]]と呼ばれる{{sfn|Rowen|1994|p=99}}{{efn|name="strictness"}}。

; 定理 ([[ウェダーバーンの小定理|Wedderburn]]): '''有限'''域は自動的に[[有限体]]になる。

零因子について（少なくとも可換環の場合には）位相幾何学的な解釈をすることができる。環 {{mvar|R}} が可換整域となるための必要十分条件は、{{mvar|R}} が[[被約環]]（つまり冪零元を持たない環）であり、かつその[[環のスペクトル|スペクトル]] {{math|Spec ''R''}} が[[既約位相空間]]となることである。前者の性質はある種の無限小の情報を保有しているとしばしば考えられ、対して後者はより幾何学的な情報を与えている。例えば、体 {{mvar|k}} 上の環 {{math|''k''{{bracket|''x'', ''y''}}/(''xy'')}} は整域でない（{{mvar|x}} および {{mvar|y}} の属する類が零因子を与える）が、これは幾何学的にはこの環のスペクトルが既約でない（実際に、二つの既約成分である直線 {{math|1=''x'' = 0}} と {{math|1=''y'' = 0}} の和となる）ことに対応する。

== 域の構成 ==
環が域であることを示す方法の一つは、特別な性質を持つフィルター付け（フィルトレーション）を提示することである。
; 定理 : {{mvar|R}} が{{ill2|フィルター付き環|en|Filtered algebra}}で、付随する次数環 {{math|gr&thinsp;''R''}} が域ならば、{{mvar|R}} 自身が域を成す。
この定理を利用するには、[[次数環]] {{math|gr&thinsp;''R''}} を調べる必要がある。

== 例 ==
* 各整数 {{math|''n'' &gt; 1}} に対して、{{mvar|n}} の倍数全体の成す可換（擬）環 {{math|{{mvar|n}}{{mathbf|Z}}}} は域を成すが、乗法単位元 {{math|1}} を含まないので可換整域ではない{{sfn|Lanski|2005|p=343}}。
* [[四元数]]の全体は非可換な域を成す。より一般に任意の[[可除代数]]はその非零元が全て[[可逆]]であるから域を成す。
* {{ill2|フルヴィッツ整数|label=四元整数|en|Hurwitz quaternion}}の全体は四元数の環の部分環として非可換環となるから、したがってそれ自身非可換な域を成す。
* {{math|1}} より大きい次数の[[行列環]]は零因子（特に[[冪零元]]）を持つから域を成さない。例えば、[[行列単位]] {{math|''E''<sub>12</sub>}} の自乗は零行列になる。
* {{mathbf|K}} 上の[[ベクトル空間]]の[[テンソル代数]]（つまり体 {{mathbf|K}} 上の[[非可換多項式環]]）{{math|'''K'''{{angbr|''x''<sub>1</sub>, …, ''x''<sub>''n''</sub>}}}} が域となることは、非可換単項式上の順序を用いて証明できる。
* {{mvar|R}} が域で {{mvar|S}} が {{mvar|R}} の{{ill2|オア拡大|en|Ore extension}}ならば、{{mvar|S}} 自身が域を成す。
* [[ワイル代数]]は非可換域である。実際、ワイル代数には微分に関する次数と全次数という二つの自然なフィルター付けがあり、どちらも付随する次数環は二変数多項式環と同型となるから、上述の定理によってワイル代数が域になることが示される。
* 体上の任意の[[リー環]]の[[普遍包絡環]]は域を成す。このことの証明には普遍包絡環上の標準フィルター付けと{{ill2|ポワンカレ–バーコフ–ヴィットの定理|en|Poincaré–Birkhoff–Witt theorem}}を用いる。

== 群環と零因子問題 ==
[[群 (数学)|群]] {{mvar|G}} と[[可換体|体]] {{mvar|K}} に対して、[[群環]] {{math|''R'' {{coloneqq}}''K''{{bracket|''G''}}}} は域となるかを考える。恒等式
: <math> (1-g)(1+g+\cdots+g^{n-1})=1-g^n</math>
から有限な[[位数 (群論)|位数]] {{mvar|n}} を持つ元 {{mvar|g}} から {{mvar|R}} の零因子 {{math|1 &minus; ''g''}} が得られる。'''零因子問題'''（カプランスキーの零因子予想）とはこれ以外の方法で零因子が得られないかどうかを問うものである。即ち、

; 零因子問題: 与えられた[[可換体|体]] {{mvar|K}} と[[ねじれ群|捩れのない群]] {{mvar|G}} に対して、「群環  {{math|''K''{{bracket|''G''}}}} は零因子を含まない」という主張は真であるか

今のところ反例は知られていないが、問題は一般には未解決のままである（2007年現在）。 

様々な特定の群のクラスについては肯定的に解決されている。{{harvtxt|Farkas|Snider|1976}}は「{{mvar|G}} が捩れの無い{{ill2|多重巡回群|label=多重巡回&times;有限|en|Polycyclic group}}群 (polycyclic-by-finite group) で {{mvar|K}} が[[標数]] {{math|1=char&thinsp;''K'' = 0}} の体ならば群環 {{math|''K''{{bracket|''G''}}}} は域を成す」ことを証明した。後に {{harvtxt|Cliff|1980}} が体の標数に関する制限を取り除いている。{{harvtxt|Kropholler|Linnell|Moody|1988}} はこれらの結果を捩れの無い[[可解群]]および可解&times;有限群の場合にまで一般化している。それより早く {{harvtxt|Lazard|1965}} の成した研究は（その重要性は20年もの間この分野の専門家に省みられることは無かったが）、{{mvar|K}} が [[p進整数|{{mvar|p}}-進整数環]]で {{mvar|G}} が {{math|''GL''(''n'', '''Z''')}} の {{mvar|p}}-次{{ill2|合同部分群|en|Congruence subgroup}}である場合を扱っていた。

== 注 ==
=== 注釈 ===
{{notelist}}
=== 出典 ===
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book | last1=Lam | first1=Tsit-Yuen | title=A First Course in Noncommutative Rings | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=2nd | isbn=978-0-387-95325-0 | mr=1838439 | year=2001|ref=harv}}
* {{cite book | first=Charles | last= Lanski | title=Concepts in abstract algebra | publisher=AMS Bookstore | year=2005 | isbn=0-534-42323-X |ref=harv}}
* {{cite book | first1=César |last1=Polcino M. | first2=Sudarshan K. |last2= Sehgal | title=An introduction to group rings | publisher=Springer | year=2002 | isbn=1-4020-0238-6 |ref=harv}}
* {{cite book | author=Nathan Jacobson | title=Basic Algebra I | publisher=Dover | year=2009 | isbn=978-0-486-47189-1 |ref=harv}}
* {{cite book | first=Louis Halle |last=Rowen | title=Algebra: groups, rings, and fields | publisher=[[A K Peters]] | year=1994 | isbn=1-56881-028-8 |ref=harv}}
* {{citation |first1=D. |last1=Farkas |first2=R. L. |last=Snider |title=Ko and Noetherian group rings |journal=J. Algebra |volume=42 |year=1976 |pp=192-198|ref=harv}}
* {{citation |first=G. H. |last=Cliff |title=Zero divisors and idempotents in group rings |journal=Cañad. J. Math. |volume=32 |year=1980 |pp=596-602|ref=harv}}
* {{citation |first1=P. H.|last1=Kropholler|first2=P. A. |last2=Linnell |first3=J. A. |last3=Moody |title=Applications of a new K-theoretic theorem to soluble groups rings |journal=Proc. Amer. Math. Soc. |vol=104 (3) |year=1988 |pp=675-884|ref=harv}} 
* {{citation |last=Lazard |first=Michel |title=Groupes analytiques p-adiques |journal= Publ.Math.IHES |volume=26 |year=1965 |pp=389-603|ref=harv}}

== 外部リンク ==
* {{citation |format=PDF |author=A.I.Lichtman|title=A GROUP THEORETICAL EQUIVALENT OF THE ZERO DIVISOR PROBLEM |url=http://www.ams.org/journals/proc/1986-097-02/S0002-9939-1986-0835867-9/S0002-9939-1986-0835867-9.pdf |journal=Proc. Amer. Math. Soc. |volume=97 |issue=2 |year=1986 |accessdate=2012年5月}}
* {{cite web |publisher=mathoverflow |title=What is the current status of the Kaplansky zero-divisor conjecture for group rings? |url=http://mathoverflow.net/questions/79559/what-is-the-current-status-of-the-kaplansky-zero-divisor-conjecture-for-group-rin |accessdate=2012年5月}}

== 関連項目 ==
* [[零因子]]
* {{仮リンク|約元|en|Divisor (ring theory)}}

{{DEFAULTSORT:ひかかんせいいき}}
[[Category:非可換環論]]
[[Category:数学に関する記事]]