非圧縮性のソースを表示

{{otheruses|連続体|データ圧縮|非圧縮}}
<!--{{wikify|date=2011年3月}}-->
{{連続体力学}}
[[連続体力学]]における'''非圧縮性'''（ひあっしゅくせい、{{lang-en|incompressibility}}）とは、連続体の[[密度]]が[[変形]]の前後で[[変化]]しないような[[性質]]を表す。連続体力学では[[質量保存則]]を考えるため、密度が一定であるならば[[体積]]も一定となる。非圧縮性を有する[[材料]]として、[[流体]]では[[川|河川]]を流れる[[水]]や[[音速]]を超えない範囲で[[運動 (物理学)|運動]]している[[空気]]が挙げられる。これらを総称して、'''[[非圧縮性流れ|非圧縮性流体]]'''と呼んでいる。一方で、[[固体]]の場合は、[[ゴム]]に代表される[[超弾性体]]や[[降伏 (物理)|降伏]]した[[金属]]などのような[[塑性体]]が挙げられる。

== 非圧縮性の定式化 ==
[[ファイル:Deformation.png|400px|right|thumb|図1.連続体の変形]]
連続体力学では、次に示す[[変形勾配テンソル]]<math>F</math>を用いて連続体の変形を考える。以後、使用する文字は図1に合わせた。
{{indent|<math>
d \boldsymbol{x} = \boldsymbol{F} d\boldsymbol{X}, \quad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j}
</math>}}
ここで、<math>\boldsymbol{x}</math>は変形形状<math>\kappa_t</math>内の位置を表し、<math>\boldsymbol{X}</math>は基準形状（変形なし形状）<math>\kappa_0</math>内のもとの位置を表す。

さらに[[体積変化率]]<math>J</math>と変形勾配テンソル<math>\boldsymbol{F}</math>に次の関係があることを利用する。
{{indent|<math>
J = \frac{dv}{dV} = \det(\boldsymbol{F})
</math>}}
ここで、<math>dv</math>は変形形状<math>\kappa_t</math>内の微小六面体要素の体積を表し、<math>dV</math>は基準形状(変形なし形状)<math>\kappa_0</math>内の微小六面体要素の体積を表す。非圧縮性とは上記の体積変化率<math>J</math>が1であることに等しい、すなわち次のように定式化できる。
{{indent|<math>
J = \det(\boldsymbol{F}) = 1
</math>}}

== 流体力学との関連性 ==
{{see also|非圧縮性流れ}}
非圧縮性流体の[[基礎方程式]]のひとつに、次に示す[[連続の式]]がある。
{{indent|<math>
\mathrm{div}\, \boldsymbol{v} = 0, \quad \frac{\partial v_j}{\partial x_j} = 0
</math>}}
これは、[[質量保存則]]および密度が一定であることを利用して導き出されるが、次のように[[体積変化率]]<math>J</math>の[[物質微分]]（物質時間導関数）を考えることでも導き出される。
{{indent|<math>
\frac{D J}{D t} = J \mathrm{div}\, \boldsymbol{v}
</math>}}
上式に<math>J = 1</math>と<math>\frac{D J}{D t} = 0</math>を代入することで、連続の式が得られる。

なお、流体が非圧縮性であるか否かは流体の物性ではなく、流れの性質、具体的には[[マッハ数]]による<ref>{{cite|和書 |title=コンピュータによる流体力学 |author=Joel H. Ferziger |author2=Milovan Pri&#x107; |translator=小林敏雄、谷口伸行、坪倉誠 |publisher=シュプリンガー・フェアラーク東京 |year=2003 |isbn=4-431-70842-1 |page=2}}</ref>。

==固体力学との関連性==
固体力学において、[[体積ひずみ]]という概念がある。ここでは、体積ひずみ<math>\epsilon_V</math>と[[体積変化率]]<math>J</math>との関連性について述べ、非圧縮性のもとで体積ひずみが0となることを示す。

変形勾配テンソル<math>\boldsymbol{F}</math>は、[[変位勾配テンソル]]<math>\boldsymbol{H}</math>と恒等テンソル<math>\boldsymbol{I}</math>を用いると次のように表される。
{{indent|<math>
\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \boldsymbol{H},\quad F_{ij} = \delta_{ij} + H_{ij}
</math>}}
ここで、変形勾配テンソル<math>\boldsymbol{H}</math>は
{{indent|<math>
d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{H} d\boldsymbol{X},\quad  H_{ij} = \frac{\partial u_i}{\partial X_j}
</math>}}
である。<math>\boldsymbol{u}</math>は変位を表す。

変形勾配テンソル<math>\boldsymbol{F}</math>の各要素は変位勾配テンソル（の成分）<math>H_{ij}</math>を用いると、以下の様に表される。
{{indent|<math>
\boldsymbol{F} = \begin{pmatrix}
1 + H_{11} & H_{12} & H_{13} \\
H_{21} &  1 + H_{22} & H_{23} \\
H_{31} & H_{32}  &  1 + H_{33} 
\end{pmatrix}
</math>}}
よって、体積変化率<math>J</math>を変位勾配テンソル<math>H_{ij}</math>で表すと、下の式を得る。
{{indent|<math>
J = \det(F) 
= \begin{vmatrix}
1 + H_{11} & H_{12} & H_{13} \\
H_{21} &  1 + H_{22} & H_{23} \\
H_{31} & H_{32}  &  1 + H_{33} 
\end{vmatrix}
= 1 + H_{11} + H_{22} + H_{33} + H^{(2)} + H^{(3)}
</math>}}

ここで、<math>H^{(2)}</math> および <math>H^{(3)}</math>は変位勾配の2次の項と3次の項を表す。非圧縮性であることから、<math>J = 1</math>とすると、結局次の式を得る。
{{indent|<math>
H_{11} + H_{22} + H_{33} + H^{(2)} + H^{(3)} = 0
</math>}}

[[微小変形]]を考えると、<math>H^{(2)}</math>と<math>H^{(3)}</math>が無視でき、
{{indent|<math>
\frac{\partial }{\partial X_i}
\approx \frac{\partial }{\partial x_i}
</math>}}
となるため、次の式を得る。
{{indent|<math>
H_{11} + H_{22} + H_{33} 
= \frac{\partial u_1}{\partial X_1}
+ \frac{\partial u_2}{\partial X_2}
+ \frac{\partial u_3}{\partial X_3} 
\approx \frac{\partial u_1}{\partial x_1}
+ \frac{\partial u_2}{\partial x_2}
+ \frac{\partial u_3}{\partial x_3} 
= \epsilon_V = 0
</math>}}

上記のように、非圧縮性から体積ひずみが0となることが示された。

== 参考文献 ==
{{reflist}}
* {{Cite book|和書|author=京谷孝史|authorlink=京谷孝史|year=2008|month=12|title=よくわかる連続体力学ノート|publisher=森北出版|isbn=978-4-627-94811-2|}}

== 関連項目 ==
* [[圧縮性]]

{{デフォルトソート:ひあつしゆくせい}}
[[Category:力学]]
[[Category:流体力学]]
[[Category:連続体力学]]